В настоящей работе рассматриваются некоторые задачи теории устойчивости решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из основных методов решения таких задач является метод функции Ляпунова.
Этот метод, данный А. М. Ляпуновым в его работе «Общая задача об устойчивости движения», получил в последнее время широкое развитие в приложении ко многим новым задачам устойчивости. Достаточно полно были решены задачи обоснования метода, выяснены вопросы существования функций Ляпунова, в ряде работ была доказана возможность приложения метода для исследования систем, описываемых аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложение этих вопросов и составляет содержание данной работы.
В книге решаются главным образом общие теоретические вопросы о возможности метода Ляпунова и некоторых других приемов приложения метода к исследованию конкретных задач устойчивости. В первой части (главы I—V) рассматриваются задачи устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В главе I приводится общий обзор метода Ляпунова и обсуждаются приложенные к этим теориям вопросы, в т. ч. задачи построения функций Ляпунова. В главах II—III рассматриваются возможные модификации метода.
Книга посвящена систематическому изложению различных методов теории возмущений, ставших в последнее время основными аналитическими методами решения физических и технических задач. В книге отражены и систематизированы основные идеи и результаты, полученные в этой области советскими и зарубежными учеными.
Автору удалось дать общий подход к решению многих прикладных задач. Наряду с широко известными методами сворачивания асимптотических разложений излагается весьма перспективный метод разномасштабных разложений. Представляет интерес большое количество примеров построения решений для различных систем уравнений.
Книгу можно рекомендовать механикам, физикам, инженерам-исследователям и математикам, интересующимся применением методов теории возмущений для решения прикладных задач. Она также может быть использована как учебное пособие для студентов старших курсов университетов и технических вузов.
Автор книги Лотар Коллатц является известным специалистом в области прикладной математики, относящейся главным образом к задачам технической механики. В данной книге рассматриваются задачи на собственные значения, связанные с проблемой потери устойчивости, упругими колебаниями и др. При этом акцент делается не на физическое, а на математическое содержание задач; особое внимание уделяется вычислительным методам.
Рассмотрение общей теории (функции Грина, интегральные уравнения, теорема разложения, вариационные принципы) проведено в простой форме и содержит ряд оригинальных черт.
Значительное внимание уделяется развитому автором методу последовательных приближений, численной реализации вариационных принципов, задачам для матриц. Излагаются конечно-разностные и другие методы, представляющие интерес для лиц, занимающихся задачами на собственные значения.
В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Представлены следующие разделы: теоремы существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре — Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе.
Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и инженерам, так или иначе соприкасающимся с дифференциальными уравнениями.
Задачу об интегрировании дифференциальных уравнений можно ставить двойным образом: можно, во-первых, выбрав одно какое угодно, но определенное решение рассматриваемого уравнения, искать способы, которые позволили бы вычислить с какой угодно точностью значение этого решения при каком угодно значении независимой переменной, или же, во-вторых, можно поставить себе целью точное отыскание всех возможных решений заданного уравнения при помощи конечного числа уже известных действий или же действий, хотя и новых, но предварительно изученных.
Решая задачу об интегрировании первым из двух указанных способов, мы получаем интегрирование заданного уравнения по приближению; решая вторым способом — приходим к интегрированию в замкнутой форме.
Книга посвящена активно развивающемуся направлению классической механики — теории интегрирования уравнений Гамильтона. Впервые излагается систематический анализ причин неинтегрируемого поведения гамильтоновых систем: сложное строение пространства положений, малые знаменатели, расслоение асимптотических поверхностей, рождение изолированных периодических решений, ветвление решений в плоскости комплексного времени, квазислучайные режимы колебаний.
Изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты обрели характер промышленно значимых примеров из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики.
Для специалистов в области механики и математики, занимающихся теорией динамических систем, студентов и аспирантов университетов.
Те, кому приходилось применять методы математической физики к решению определенных практических задач, вероятно согласятся со мною, что требование довести задачу до числового решения производит своего рода переоценку ценностей.
Методы, которых красота и глубина вызывали прежде справедливое удивление, оказываются бессильными, потому что требуют невыполнимых выкладок. Наоборот, методы, казавшиеся грубыми и тяжелыми, неожиданно оказываются способными дать удовлетворительное решение задачи. Формирование и развитие особого рода методов в борьбе с подобными трудностями дает не редкий пример того, как ограничение односторонности создает отступление. Достаточно упомянуть работы Карла Густава Якоба Якоби.
Настоящий труд является естественным продолжением ряда работ подобного рода, в которых автор принимал непосредственное участие. Как на первый опыт увязки военного дела с курсом математики следует указать на “Комплексный математический задачник” Б е р к у т , Г о с т е в и другие под редакцией П о п п е р е к Г. А. (изд. „Военный вестник“ 1926 г.).
Затем в 1928 г. Наркомпрос издал сборник “Повышенная школа и оборона страны”, в котором автор также принимал посильное участие.
Наконец настоящая книга написана автором по предложению Наркомпроса и представляет первый опыт создания методического руководства по военизации уроков математики в школе повышенного типа. Руководство с успехом может быть дано на руки и учащимся, так как это облегчит труд преподавателя, сократит время на уяснение многих понятий и ускорит проработку многих задач.
Сознавая, что настоящий опыт, как первый, имеет много недочетов, автор просит всех, пользовавшихся настоящим руководством, прислать свои замечания и пожелания по адресу: Москва, Лефортово, Военно-инженерная школа.
Книга посвящена теории обыкновенных дифференциальных уравнений и основным понятиям и простейшим задачам вариационного исчисления. Излагается также метод характеристик решения уравнений с частными производными первого порядка.
Изложение основано на широком использовании аппарата линейной алгебры и на единообразном рассмотрении дифференциальных уравнений произвольного порядка путем сведения их к системам первого порядка.
По своему содержанию книга отвечает программам вузов с повышенным уровнем преподавания математики и содержит ряд существенных дополнений: приближенные методы решения дифференциальных уравнений, краевую задачу, метод прогонки, линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и др.
В конце каждой главы приводятся задачи, расширяющие и дополняющие ее содержание.
Книга предназначена для студентов высших учебных заведений.
В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой.
Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем: существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике.
Первое издание вышло в 1980 г. и давно стало библиографической редкостью. В новое издание вошла работа В. В. Козлова, посвященная исследованию уравнений Даффинга.
