Книга известного индийского математика, президента Международного математического союза К. Чандрасехарана посвящена систематическому изложению классических результатов аналитической теории чисел. Она не требует больших предварительных знаний и вводит читателя в широкий круг основных теоретико-числовых вопросов.
Книга написана с большим педагогическим мастерством, четко и сжато. Она будет полезна математикам различных специальностей, а также студентам университетов и пединститутов.
Основой для настоящего учебника элементарного курса теории чисел послужило 2-е издание моего украинского учебника «Теорія чисел», ДНТВУ, 1936. Первые пять глав остались в основном те же, что были и в украинском издании.
В первой главе несколько расширены параграфы о простых числах; в остальных главах исключены параграфы, напечатанные мелким шрифтом, содержание которых выходит за рамки обычного элементарного курса теории чисел. Шестая глава украинского издания («Квадратичные формы») исключена совершенно, ибо она не входит в официальную программу курса теории чисел.
Вместо неё даны две новые главы: гл. VI — «Некоторые сведения о квадратичных формах» и гл. VII — «Работы по теории чисел русских и советских математиков». В основном в настоящий учебник включен тот материал, который имеется в официальной программе по теории чисел для физико-математических и механико-математических факультетов государственных университетов, изд. 1952 г. (автор А. Гельфонд).
Интерес к Великой теореме Ферма в нашем обществе растет с каждым годом; об этом свидетельствуют многочисленные запросы и попытки доказательств, получаемые нашими научными обществами и учреждениями. Между тем на русском языке не существует сколько-нибудь доступной литературы по этому вопросу, да и в странах Европы дело обстоит в этом отношении немногим лучше.
Поэтому я охотно согласился на любезное предложение научного отдела Государственного издательства написать небольшую книжку, которая всем интересующимся могла бы дать необходимые справки, касающиеся проблемы Ферма, ее истории и современного состояния, а также по возможности осветить ее со стороны принципиальной и методологической.
Чтение этой книжки (за исключением дополнения) доступно каждому, кто знает элементарную арифметику.
«Лекции по теории чисел» Г. Хассе занимают положение, промежуточное между элементарным руководством по теории чисел и монографией по какому-либо из ее специальных разделов. Первая и вторая главы содержат материал, исторически давно сложившийся. Вторая половина книги вводит читателя в основные области современной теории чисел — теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций с конечным полем констант и (в меньшей степени) в аналитическую теорию чисел.
Эти области не рассматриваются в книге систематически, но характерные для них постановки вопросов, некоторые основные результаты и связи с элементарной теорией чисел выясняются на важнейших частных случаях. Книга может, таким образом, служить для первоначального ознакомления с теорией чисел, но представляет также интерес и для лиц, с теорией чисел уже знакомых.
Для чтения книги необходима сравнительно небольшая предварительная математическая подготовка. Автор широко пользуется алгебраической терминологией, однако для понимания книги не требуется глубокого владения алгебраической теорией, знание которой в основных чертах алгебраических понятий — кольцо, поле, группа, идеал и т. д. — считается достаточным. Из курса анализа достаточно знать элементарные свойства функций и основные понятия дифференциального и интегрального исчисления. Только в нескольких местах книги для полного понимания необходимо владеть аналитическим аппаратом, применяемым при изучении теории функций комплексного переменного и основной теоремой теории Галуа.
Настоящая книга предназначена для студентов старших курсов и аспирантов, изучающих теорию чисел, а также для специалистов, работающих в этой области. Она написана на основе опыта работы семинара по дополнительным главам теории чисел в Елабужском педагогическом институте и дает систематическое изложение цикла работ автора по аддитивной теории чисел.
Для чтения книги необходимо лишь знакомство с основами теории чисел, например, по учебникам И. М. Виноградова или А. А. Буштаба. Многие из задач, приведенных в первой главе, могут быть использованы в качестве тем курсовых и дипломных работ, а также для самостоятельной научной работы. В последние десятилетия в аддитивной теории чисел началось изучение общих закономерностей, возникающих при сложении множеств. Настоящая работа продолжает эту тенденцию.
Книга посвящена одной из областей арифметики — теории простых чисел. Автор поставил себе целью изложить некоторые теоремы «элементарной» теории простых чисел и сообщить наряду с этим о различных интересных результатах в этой области.
Для чтения книги достаточно знания школьной алгебры и простейших фактов дифференциального и интегрального исчисления. В книге изложены элементарные доказательства асимптотического закона распределения простых чисел, найденное Сельбергом и Эрдёшем в 1948 г., и теоремы Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Специальная глава содержит основы метода решета Бруна.
В книге выдающегося польского математика Вацлава Серпинского собраны наиболее важные, интересные и доступные широкому кругу читателей результаты, относящиеся к теории простых чисел. Приводятся многочисленные указания на нерешенные проблемы.
Доказательства теорем даются лишь в тех случаях, когда они элементарны и не очень утомительны. В основном книга имеет информационный характер. Она может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.
Брошюра знакомит читателя с основами теории сравнений, одной из интересных и важных областей математического знания. Доступное изложение современного состояния теории сравнений стало возможно благодаря работам автора брошюры, создавшего новый арифметический метод доказательства всех её результатов.
Ранее это было под силу лишь сложному аппарату алгебраической геометрии.
В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах. Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения, решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел.
Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел. Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20–30 лет.
Книга может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.
Четырнадцатого марта 1882 г. в Варшаве в семье врача Константина Серпинского родился мальчик, которому дали два имени: Владислав Франциск. Этому мальчику суждено было стать одним из крупнейших польских математиков.
Образование Владислав Серпинский получил в Варшаве. Здесь он окончил гимназию и университет.
Незаурядные способности Серпинского обнаружились рано, повышенный же интерес к математике наметился лишь в последних классах гимназии под влиянием двух его соучеников, владевших некоторыми разделами высшей математики, и прекрасного учителя математики Владзимежа Влодаржика. Последний был очень высокого мнения о математических способностях Серпинского. В гимназии у Серпинского было ещё несколько замечательных учителей. Так, его учителем французского языка был К. Аппель, впоследствии профессор Варшавского университета.
