Основой для настоящего учебника элементарного курса теории чисел послужило 2-е издание моего украинского учебника «Теорія чисел», ДНТВУ, 1936. Первые пять глав остались в основном те же, что были и в украинском издании.
В первой главе несколько расширены параграфы о простых числах; в остальных главах исключены параграфы, напечатанные мелким шрифтом, содержание которых выходит за рамки обычного элементарного курса теории чисел. Шестая глава украинского издания («Квадратичные формы») исключена совершенно, ибо она не входит в официальную программу курса теории чисел.
Вместо неё даны две новые главы: гл. VI — «Некоторые сведения о квадратичных формах» и гл. VII — «Работы по теории чисел русских и советских математиков». В основном в настоящий учебник включен тот материал, который имеется в официальной программе по теории чисел для физико-математических и механико-математических факультетов государственных университетов, изд. 1952 г. (автор А. Гельфонд).
«Лекции по теории чисел» Г. Хассе занимают положение, промежуточное между элементарным руководством по теории чисел и монографией по какому-либо из ее специальных разделов. Первая и вторая главы содержат материал, исторически давно сложившийся. Вторая половина книги вводит читателя в основные области современной теории чисел — теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций с конечным полем констант и (в меньшей степени) в аналитическую теорию чисел.
Эти области не рассматриваются в книге систематически, но характерные для них постановки вопросов, некоторые основные результаты и связи с элементарной теорией чисел выясняются на важнейших частных случаях. Книга может, таким образом, служить для первоначального ознакомления с теорией чисел, но представляет также интерес и для лиц, с теорией чисел уже знакомых.
Для чтения книги необходима сравнительно небольшая предварительная математическая подготовка. Автор широко пользуется алгебраической терминологией, однако для понимания книги не требуется глубокого владения алгебраической теорией, знание которой в основных чертах алгебраических понятий — кольцо, поле, группа, идеал и т. д. — считается достаточным. Из курса анализа достаточно знать элементарные свойства функций и основные понятия дифференциального и интегрального исчисления. Только в нескольких местах книги для полного понимания необходимо владеть аналитическим аппаратом, применяемым при изучении теории функций комплексного переменного и основной теоремой теории Галуа.
Четырнадцатого марта 1882 г. в Варшаве в семье врача Константина Серпинского родился мальчик, которому дали два имени: Владислав Франциск. Этому мальчику суждено было стать одним из крупнейших польских математиков.
Образование Владислав Серпинский получил в Варшаве. Здесь он окончил гимназию и университет.
Незаурядные способности Серпинского обнаружились рано, повышенный же интерес к математике наметился лишь в последних классах гимназии под влиянием двух его соучеников, владевших некоторыми разделами высшей математики, и прекрасного учителя математики Владзимежа Влодаржика. Последний был очень высокого мнения о математических способностях Серпинского. В гимназии у Серпинского было ещё несколько замечательных учителей. Так, его учителем французского языка был К. Аппель, впоследствии профессор Варшавского университета.
Первое издание настоящей книги ввиду небольшого тиража быстро разошлось. По предложению Государственного издательства политической и научной литературы Литовской ССР автор решил подготовить второе издание.
За три года, протекшие со дня выхода в свет первого издания, вероятностная теория распределения значений аддитивных арифметических функций, изложенная в книге, получила дальнейшую разработку и пополнилась новыми результатами. Это учтено во втором издании, которое подверглось значительной переработке, однако рамки книги не позволили автору включить ряд важных результатов.
Книга П. Г. Лежен Дирихле “Лекции по теории чисел” принадлежит к лучшим классическим книгам по теории чисел. Несмотря на то, что она составлена Р. Дедекиндом по лекциям Дирихле, читанным в 1856/1857 г., она до сих пор не потеряла своего актуального значения. Все желающие получить серьезную математическую подготовку и в настоящее время не могут пройти мимо этой замечательной книги.
В ней содержатся основные результаты теории квадратичных форм, изложенные Гауссом в его знаменитом сочинении “Disquisitiones Arithmeticae” (“Исследования по арифметике”), и дано систематическое изложение исследований самого Дирихле. Эти исследования служат основанием современной теории чисел и принадлежат к наиболее глубоким результатам математики XIX в.
Предлагаемый сборник упражнений предназначается для проработки курса теории чисел в педагогических институтах.
Упражнения довольно резко разделяются на два типа. С одной стороны, дано большое количество упражнений тренировочного характера, предназначенных для выработки студентами вычислительных навыков и иллюстрирующих основные положения курса. Количество таких упражнений, по мнению авторов, вполне достаточно для аудиторных занятий, для самостоятельной работы студентов и для контрольных работ.
Каждый номер этого типа содержит ряд примеров. Для некоторых примеров, особенно первых, даны решения, что особенно необходимо для студентов заочных отделений; некоторые примеры снабжены ответами; такие примеры отмечены звездочкой (*), оставлена без ответов и предназначена для контрольных работ.
Содержащиеся в этом сочинении исследования относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми числами, в то время как дробные числа остаются вне рассмотрения в большинстве случаев, а мнимые — всегда.
Так называемый неопределенный или диофантов анализ, представляющий собой учение о том, как из бесконечного числа решений, удовлетворяющих неопределенному уравнению, выбирать те, которые являются целочисленными или хотя бы рациональными (а в большинстве случаев ещё и положительными), не исчерпывает этой дисциплины, а представляет собой лишь очень специальную её часть, которая относится ко всей дисциплине приблизительно так же, как учение о преобразовании и решении уравнений (алгебра) относится к анализу в целом.
Книга рассчитана в первую очередь на то, чтобы служить в качестве учебного пособия при прохождении курса теории чисел на физико-математических факультетах педагогических институтов и в университетах.
Теоретико-числовые вопросы вызывают интерес не только у специалистов математиков, но и у значительно более широкого круга людей, задумывающихся над отдельными арифметическими проблемами, и автор старался учесть интересы читателей в этом отношении. Охватывая полностью учебную программу по теории чисел, книга содержит и дополнительный материал, развивающий тот небольшой обязательный курс, который проходит всеми студентами-математиками педагогических институтов.
Этот дополнительный материал может быть использован при организации работы спецсеминаров, а также в качестве основы для ряда курсовых работ по теории чисел.
При подготовке третьего издания учитывались требования курса «Алгебра и теория чисел».
По сравнению со вторым изданием осуществлены следующие дополнения: введены упражнения на темы «Решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в целых числах» и «Конечные цепные дроби»; даны различные методы обоснования признаков делимости чисел; увеличено количество упражнений для самостоятельного решения. В отличие от предыдущих изданий задачник разбит на две части.
В первой части дан минимум упражнений, необходимый для подготовки студентов к выполнению контрольной работы и к зачету (этим упражнениям предшествуют примеры с подробными решениями). Вторая часть включает более сложные задачи, которые, возможно, заинтересуют студентов в процессе изучения курса. Все дополнения и изменения, о которых шла речь выше, осуществлены вторым из авторов.
В третьем томе комплекса учебников серии «Прикладная механика сплошных сред» изложены вопросы использования разностных методов вычислительной математики применительно к задачам физики быстропротекающих процессов. Рассмотрены фундаментальные понятия теории разностных схем, представлены основные разностные схемы и методы численного решения одномерных задач: сеточные методы, численный метод характеристик, методы семейства «частиц в ячейках». Приведены постановки, алгоритмы численного решения и результаты решения ряда одномерных и двумерных нестационарных задач при использовании лагранжевых, эйлерово-лагранжевых и эйлеровых методов. Обсуждены проблемы технологии проведения вычислительного эксперимента и приведены примеры, демонстрирующие возможности численного моделирования как инструмента исследования быстропротекающих процессов.
Материал этого учебника предназначен для первоначального ознакомления учащихся высших технических учебных заведений с теорией разностных схем и основами практического использования численных методов при решении задач физики взрыва и механики высокоскоростного соударения различных деформируемых тел и сред. В основу учебника положен материал лекций, читаемых авторами студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов и вузов.
