Большая часть современной теории алгебраических чисел рассматривает вопросы, простейший, но уже не тривиальный, пример которых мы находим в теории квадратичных иррациональностей, данной еще Гауссом в «Disquisitiones arithmeticae». Сюда относятся: теория единиц, теория идеалов, законы взаимности, а следовательно, отчасти, и теория поля классов.
Подробное изучение теории алгебраических иррациональностей третьей степени интересно не только потому, что оно дает следующий по сложности к квадратичным случаям пример на все эти задачи, для решения которых и в этом случае еще можно дать вполне удобные алгоритмы, а главным образом потом, что оно ставит некоторые дальнейшие вопросы, которые в квадратичном случае чаще всего тривиальны, что при изучении чисел не стали предметом исследования.
Сюда относятся, в первую очередь, вопросы классификации кубических иррациональностей, так называемая обратная задача теории Галуа для этих иррациональностей, и вопрос о приближенных алгебраических числах и иррациональной степени высших степеней, в полном виде не решенный до сих пор и тесно связанный с вопросом о представлении чисел неполным (т. е. таким, у которых число переменных меньше их степени) разложением. Вопросы, капитальный вопрос впервые в нетривиальном виде появляются в теории кубических иррациональностей, но далее имеют место для иррациональностей любой степени.
