Работа посвящена построению и программной реализации вычислительного алгоритма для моделирования процесса диффузионно-дрейфовой природы на основе дробно-дифференциального подхода. Математическая модель сформулирована в виде начально-краевой задачи для дробного по времени и пространству диффузионно-дрейфового уравнения с реакционным слагаемым в ограниченной области. Нецелые производные по времени и пространству рассмотрены в смысле Капуто и Римана – Лиувилля соответственно. Построена модифицированная неявная конечно-разностная схема. В концепции рассмотренной математической задачи приведен пример детерминированной модели процесса зарядки диэлектрических материалов. Разработана прикладная программа, реализующая сконструированный численный алгоритм. На примере решения тестовой задачи проведена верификация полученных результатов.
Вулканические извержения и сопровождающие их потоки лавы представляют собой значительную опасность для населения, построек и инфраструктуры региона. Лава может занимать большие пространственные области, для которых детальное трехмерное моделирование процесса ее течения сводится к решению дискретных задач очень большой размерности и не всегда оказывается эффективным. При достаточно малом отношении вертикального размера потока к его горизонтальному размеру применяются математические модели, основанные на усредненных по глубине уравнениях движения вязкой среды. В данном исследовании такая модель состоит из уравнений для глубины лавы, двумерных уравнений ее движения, кинетики кристаллов, уравнения теплового баланса, которое учитывает нелинейный конвективный и радиационный обмен энергии с внешней средой, энергию диссипации и скрытую теплоту кристаллизации. Математическая модель реализована численно в пакете OpenFOAM с открытым исходным кодом. Пакет позволяет использовать для осуществления вычислительных экспериментов современные высокопроизводительные кластеры и адаптировать задачу к конкретным физическим аспектам моделируемого природного процесса. Проведена верификация кодов путем сравнения аналитического решения задачи с решением согласно модели с уравнениями, описывающими движение в пространственной области двухфазной несжимаемой жидкости. Исследовано влияние на поток реологических характеристик на примере представления его моделью Ньютона по сравнению с моделью Бингама и нелинейной моделью Гершеля–Балкли. Нелинейная реология рассматриваемой жидкости учитывает зависимости фактической вязкости лавового потока от температуры, скорости сдвига, предела текучести (при этом предел текучести и степень нелинейности являются функциями температуры. Параллельные компьютерные коды реализованы с помощью интерфейса OpenMPI на вычислительных кластерах с общей и распределенной памятью под управлением ОС Linux. Проведено профилирование кодов для многоядерных процессоров с общей памятью.
В работе рассматривается процесс удаления сферических частиц микронного размера из несжимаемой среды через кольцевую щель диафрагмы горячего выхода вихревой трубы. Оценка скорости удаления проведена при помощи анализа результатов вычислительных экспериментов в свободно распространяемом пакете OpenFOAM. Для моделирования выбран решатель denseParticleFoam, реализующий метод MP-PIC (multiphase particle-in-cell method). Метод использует подход Эйлера для несущей среды и подход Лагранжа для дисперсной фазы. В ходе вычислительных экспериментов проведено пять серий расчетов. Серии различаются между собой начальным положением частиц в подаваемом на вход в трубу потоке, в рамках каждой серии рассматривается набор различных плотностей дисперсной фазы. По результатам экспериментов построена зависимость между плотностью частиц и временем до начала удаления их из канала вихревой трубы. Показано наличие прямой зависимости между плотностью частиц и временем достижения ими противоположного конца трубы с диафрагмой горячего выхода. Описан метод обработки полученных результатов. Рассмотрена возможность использования линейной и квадратичной аппроксимаций для определения предполагаемого времени нахождения частиц в канале трубы. Для каждой серии экспериментов проведена оценка доверительных интервалов и величины среднего абсолютного процентного отклонения от предложенной аппроксимации.
Актуальность исследования обусловлена необходимостью получения аналитических выражений приближенных решений сложных технических задач, математическое описание которых, приводит к краевым задачам для систем дифференциальных уравнений в сетеподобных областях и, в частности, на графах. В статье представлена постановка начально-краевой задачи для неоднородного уравнения переноса сплошной среды в n-мерной сетеподобной области. В случае n=1 предлагается символьный метод решения рассматриваемой начально-краевой задачи на графе-дереве. В основе алгоритма лежит аппроксимация частной производной по временной переменной разностным отношением (используется двухслойная аппроксимационная схема) и последующее применение преобразования Лапласа к полученной дифференциально-разностной системе. Представлена блок-схема алгоритма, приведено описание структуры программного комплекса на основе разработанного алгоритма. Программный комплекс разработан на языке программирования Java. Для ввода исходных данных начально-краевой задачи и вывода решения используется веб-интерфейс программного комплекса на основе фреймворка Spring. Для иллюстрации работы программного комплекса рассматривается пример решения начально-краевой задачи с пошаговой демонстрацией результатов расчетов. Материалы статьи представляют практическую ценность для специалистов в области анализа прикладных задач сетевой гидродинамики, теплотехники, а также анализе диффузионных процессов биофизики.
В статье рассматривается возможность построения простой и абсолютно устойчивой явной разностной схемы для уравнения теплопроводности. Явные схемы для уравнения теплопроводности были фактически вытеснены из практики программирования абсолютно устойчивыми неявными схемами. Однако неявные схемы плохо распараллеливаются, поэтому программы для решения задач теплопроводности, диффузии, подземной гидродинамики и т.п. на громадных пространственных сетках с использованием многопроцессорных вычислительных систем требуют использования явных разностных схем. Это особенно справедливо для многопроцессорных систем терафлопной и выше производительности, объединяющих сотни процессоров. При этом явные схемы должны быть абсолютно устойчивыми или, по крайней мере, их условие устойчивости должно быть не жестче такого же для гиперболических уравнений. В работе предложены модификации явных разностных схем, аппроксимирующих параболическое уравнение и обладающих свойством абсолютной счетной устойчивости. Счетная устойчивость решения, получаемого на каждом временном шаге классической явной схемой, достигается быстрым преобразованием Фурье и последующим синтезом Фурье с регуляризацией по А.Н. Тихонову. При вычислении прямого и обратного преобразований Фурье использован алгоритм Кули-Тьюки быстрого преобразования Фурье. Приведены результаты сопоставления численных расчетов модельных задач с аналитическими решениями. Абсолютная устойчивость предлагаемых явных схем для уравнения теплопроводности позволяет широко использовать их для параллельных вычислений.
В работе рассматриваются подходы к численному решению задачи о распределении электрического потенциала в рамках двумерной модели атмосферного участка глобальной электрической цепи. Для этой модели формулируется нестандартная стационарная эллиптическая краевая задача с неклассическим граничным условием. Для численного решения этой задачи, с целью изучения возможности и эффективности распараллеливания вычислений, используются два численных алгоритма на основе метода конечных элементов. Приводятся результаты расчетов для модельной задачи, в которой не учитываются особенности рельефа земной поверхности, используется простая модель проводимости и токов.
Проведено численное моделирование влияния внешнего постоянного магнитного поля на плоские релятивистские плазменные колебания. С этой целью построен алгоритм в лагранжевых переменных на основе продолженной системы гиперболических уравнений. Важным свойством численного метода является зависимость его точности только от свойств гладкости решения. Кроме того, для фиксации момента опрокидывания колебаний используется контроль за пересечением электронных траекторий. Аналитически получены достаточные условия для существования и несуществования на первом периоде гладкого решения задачи. Выяснено, что внешнее магнитное поле не может предотвратить опрокидывание колебаний принципиально, даже для случая сколь угодно малого начального отклонения от положения равновесия. Численные эксперименты наглядно иллюстрируют релятивистское опрокидывание верхнегибридных колебаний. Показано, что внешнее магнитное поле может как ускорять, так и замедлять процесс опрокидывания в зависимости от выбора начального условия для поперечной компоненты импульса электронов.
В работе рассматриваются вопросы численного моделирования двухфазных течений с применением эйлеровой многоскоростной модели типа Баера-Нунциато. Представлено описание математической модели, подробно рассмотрен численный алгоритм решения задачи на основе разрывного метода Галеркина. Представлено описание разработанного программного комплекса, основное назначение которого - математическое моделирование двухфазных течений с прямым разрешением динамики границ раздела фаз. Особенностью предложенных алгоритмов является лимитирование простых и консервативных переменных, гарантирующее как отсутствие нефизичных осцилляций, так и допустимые значения физических полей с применением лимитера WENO-S. Основная цель работы - дать исчерпывающее описание предложенного комплекса алгоритмов для решения задач рассматриваемого класса и пригодного для решения задач в реалистичных постановках. На примере модельной задачи демонстрируется возможность его применения для решения задач на сетках больших размеров.
Исследованы закономерности процессов испарения и конденсации чистого пара в методе решеточных уравнений Больцмана. Выполнено моделирование этих процессов при постоянных во времени потоках пара на границе расчетной области. Показано, что в этом случае осуществляются квазистационарные режимы испарения и конденсации. Предложен простой численно эффективный метод задания потока пара на плоской границе расчетной области путем вычисления функций распределения на входящих характеристиках метода решеточных уравнений Больцмана. В расчетах показано, что поток массы при испарении плоской поверхности пропорционален разности плотностей насыщенного и окружающего пара при данной температуре поверхности, что хорошо согласуется с законом Герца-Кнудсена. Результаты трехмерного и одномерного моделирования методом решеточных уравнений Больцмана совпадают с высокой точностью. Показано, что отношение разности плотностей к потоку вещества на границе фаз при заданной температуре линейно зависит от времени релаксации как для испарения, так и для конденсации. Исследовано влияние температуры на интенсивность потоков испарения и конденсации чистого пара. Обнаружена зависимость процессов испарения и конденсации от времени релаксации, которое определяет кинематическую вязкость флюида.
В работе рассматривается предобусловливатель блочного неполного обратного треугольного разложения первого порядка “по значению” BIIC-IC1 для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей. Рассматривается способ применения MPI+OpenMP технологии для построения и обращения предобусловливателя BIIC-IC1, при этом в предобусловливателе число блоков кратно числам используемых процессоров и используемых потоков. Предлагается способ применения MPI+OpenMP технологии для построения и обращения предобусловливателя BIIC-IC1, в котором для применения OpenMP технологии используется специальное упорядочение узлов сетки внутри подобластей, соответствующих расчетам на процессорах. Проводится сравнение времени решения задач методом сопряженных градиентов с предобусловливателем BIIC-IC1 с использованием MPI и гибридной MPI+OpenMP технологии на примере модельной задачи и ряда задач из коллекции разреженных матриц SuiteSparse.