SCI Библиотека

Актуальность исследования обусловлена необходимостью получения аналитических выражений приближенных решений сложных технических задач, математическое описание которых, приводит к краевым задачам для систем дифференциальных уравнений в сетеподобных областях и, в частности, на графах. В статье представлена постановка начально-краевой задачи для неоднородного уравнения переноса сплошной среды в n-мерной сетеподобной области. В случае n=1 предлагается символьный метод решения рассматриваемой начально-краевой задачи на графе-дереве. В основе алгоритма лежит аппроксимация частной производной по временной переменной разностным отношением (используется двухслойная аппроксимационная схема) и последующее применение преобразования Лапласа к полученной дифференциально-разностной системе. Представлена блок-схема алгоритма, приведено описание структуры программного комплекса на основе разработанного алгоритма. Программный комплекс разработан на языке программирования Java. Для ввода исходных данных начально-краевой задачи и вывода решения используется веб-интерфейс программного комплекса на основе фреймворка Spring. Для иллюстрации работы программного комплекса рассматривается пример решения начально-краевой задачи с пошаговой демонстрацией результатов расчетов. Материалы статьи представляют практическую ценность для специалистов в области анализа прикладных задач сетевой гидродинамики, теплотехники, а также анализе диффузионных процессов биофизики.

В статье рассматривается возможность построения простой и абсолютно устойчивой явной разностной схемы для уравнения теплопроводности. Явные схемы для уравнения теплопроводности были фактически вытеснены из практики программирования абсолютно устойчивыми неявными схемами. Однако неявные схемы плохо распараллеливаются, поэтому программы для решения задач теплопроводности, диффузии, подземной гидродинамики и т.п. на громадных пространственных сетках с использованием многопроцессорных вычислительных систем требуют использования явных разностных схем. Это особенно справедливо для многопроцессорных систем терафлопной и выше производительности, объединяющих сотни процессоров. При этом явные схемы должны быть абсолютно устойчивыми или, по крайней мере, их условие устойчивости должно быть не жестче такого же для гиперболических уравнений. В работе предложены модификации явных разностных схем, аппроксимирующих параболическое уравнение и обладающих свойством абсолютной счетной устойчивости. Счетная устойчивость решения, получаемого на каждом временном шаге классической явной схемой, достигается быстрым преобразованием Фурье и последующим синтезом Фурье с регуляризацией по А.Н. Тихонову. При вычислении прямого и обратного преобразований Фурье использован алгоритм Кули-Тьюки быстрого преобразования Фурье. Приведены результаты сопоставления численных расчетов модельных задач с аналитическими решениями. Абсолютная устойчивость предлагаемых явных схем для уравнения теплопроводности позволяет широко использовать их для параллельных вычислений.

В работе рассматриваются подходы к численному решению задачи о распределении электрического потенциала в рамках двумерной модели атмосферного участка глобальной электрической цепи. Для этой модели формулируется нестандартная стационарная эллиптическая краевая задача с неклассическим граничным условием. Для численного решения этой задачи, с целью изучения возможности и эффективности распараллеливания вычислений, используются два численных алгоритма на основе метода конечных элементов. Приводятся результаты расчетов для модельной задачи, в которой не учитываются особенности рельефа земной поверхности, используется простая модель проводимости и токов.

Проведено численное моделирование влияния внешнего постоянного магнитного поля на плоские релятивистские плазменные колебания. С этой целью построен алгоритм в лагранжевых переменных на основе продолженной системы гиперболических уравнений. Важным свойством численного метода является зависимость его точности только от свойств гладкости решения. Кроме того, для фиксации момента опрокидывания колебаний используется контроль за пересечением электронных траекторий. Аналитически получены достаточные условия для существования и несуществования на первом периоде гладкого решения задачи. Выяснено, что внешнее магнитное поле не может предотвратить опрокидывание колебаний принципиально, даже для случая сколь угодно малого начального отклонения от положения равновесия. Численные эксперименты наглядно иллюстрируют релятивистское опрокидывание верхнегибридных колебаний. Показано, что внешнее магнитное поле может как ускорять, так и замедлять процесс опрокидывания в зависимости от выбора начального условия для поперечной компоненты импульса электронов.

В работе рассматриваются вопросы численного моделирования двухфазных течений с применением эйлеровой многоскоростной модели типа Баера-Нунциато. Представлено описание математической модели, подробно рассмотрен численный алгоритм решения задачи на основе разрывного метода Галеркина. Представлено описание разработанного программного комплекса, основное назначение которого - математическое моделирование двухфазных течений с прямым разрешением динамики границ раздела фаз. Особенностью предложенных алгоритмов является лимитирование простых и консервативных переменных, гарантирующее как отсутствие нефизичных осцилляций, так и допустимые значения физических полей с применением лимитера WENO-S. Основная цель работы - дать исчерпывающее описание предложенного комплекса алгоритмов для решения задач рассматриваемого класса и пригодного для решения задач в реалистичных постановках. На примере модельной задачи демонстрируется возможность его применения для решения задач на сетках больших размеров.

Исследованы закономерности процессов испарения и конденсации чистого пара в методе решеточных уравнений Больцмана. Выполнено моделирование этих процессов при постоянных во времени потоках пара на границе расчетной области. Показано, что в этом случае осуществляются квазистационарные режимы испарения и конденсации. Предложен простой численно эффективный метод задания потока пара на плоской границе расчетной области путем вычисления функций распределения на входящих характеристиках метода решеточных уравнений Больцмана. В расчетах показано, что поток массы при испарении плоской поверхности пропорционален разности плотностей насыщенного и окружающего пара при данной температуре поверхности, что хорошо согласуется с законом Герца-Кнудсена. Результаты трехмерного и одномерного моделирования методом решеточных уравнений Больцмана совпадают с высокой точностью. Показано, что отношение разности плотностей к потоку вещества на границе фаз при заданной температуре линейно зависит от времени релаксации как для испарения, так и для конденсации. Исследовано влияние температуры на интенсивность потоков испарения и конденсации чистого пара. Обнаружена зависимость процессов испарения и конденсации от времени релаксации, которое определяет кинематическую вязкость флюида.

В работе рассматривается предобусловливатель блочного неполного обратного треугольного разложения первого порядка “по значению” BIIC-IC1 для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей. Рассматривается способ применения MPI+OpenMP технологии для построения и обращения предобусловливателя BIIC-IC1, при этом в предобусловливателе число блоков кратно числам используемых процессоров и используемых потоков. Предлагается способ применения MPI+OpenMP технологии для построения и обращения предобусловливателя BIIC-IC1, в котором для применения OpenMP технологии используется специальное упорядочение узлов сетки внутри подобластей, соответствующих расчетам на процессорах. Проводится сравнение времени решения задач методом сопряженных градиентов с предобусловливателем BIIC-IC1 с использованием MPI и гибридной MPI+OpenMP технологии на примере модельной задачи и ряда задач из коллекции разреженных матриц SuiteSparse.

Работа посвящена нелокальным краевым задачам для многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений нелокальных краевых задач. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения каждой из рассмотренных задач по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью O(|h|+τ). Для каждой из рассмотренных задач построен алгоритм численного решения, роведены численные расчеты тестовых примеров.

В работе представлен алгоритм решения системы уравнений Аллена-Кана и Кана-Хиллиарда, которая описывает процесс спекания. Алгоритм не требует значительных по мощности вычислительных ресурсов и позволяет выполнить моделирование процесса спекания большого количества отдельных частиц на вычислительном узле с процессором Intel Xeon E5 2697 v3 и графическим ускорителем NVIDIA K40 за приемлемое время. Проведены эксперименты по моделированию спекания сорбентоподобных структур - упаковок сферических частиц, и на них показана эффективность алгоритма.

Рассматривается задача построения эффективного численного алгоритма решения дробно-дифференциального обобщения неоднородного уравнения Гельмгольца с дробной степенью оператора Лапласа. Построено мультипольное разложение, основанное на факторизации фундаментального решения рассматриваемого уравнения. Предложен способ нахождения значений функций Фокса, входящих в представленное мультипольное разложение. Разработана модификация мультипольного алгоритма для решения рассматриваемого дробно-дифференциального обобщения уравнения Гельмгольца. Приведены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффективность предложенных алгоритмов.