Эта книга представляет собою руководство, написанное применительно к действующим учебным программам наших университетов. Имея в виду все возрастающее значение теории функций в системе образования математиков, я включил в книгу (мелким шрифтом) также и ряд вопросов, выходящих за пределы программы.
Не желая, однако, чрезмерно увеличивать объём книги, я был вынужден всё же оставить в стороне много важного материала теорию производных, более общие теории интегрирования, вопросы, пограничные с теорией функций комплексной переменной и многое другое. Изложению этих вопросов я предполагаю посвятить особую книгу.
Теория функций вещественной переменной излагается в университетах, начиная с третьего курса. Поэтому у читателя предполагается свободное владение основными понятиями анализа иррациональные числа, теория пределов, важнейшие свойства непрерывных функций, производные, интегралы, ряды считаются известными в объёме любого обстоятельного курса дифференциального и интегрального исчисления.
Книга посвящена, в основном, функциям одной вещественной переменной. Лишь в трёх главах (XI—XIII) рассматриваются функции многих переменных и функции множества.
Книга содержит большое количество упражнений, и сравнительно лёгкие, доступные широкому кругу читателей, и значительно более трудные, которые могут служить хорошим материалом для студенческих математических кружков.
Книга содержит изложение основ теории меры и интеграла (преимущественно — интеграла Лебега).
Второе издание отличается от первого прежде всего развернутым изложением неопределенного интеграла Лебега и теоремы Радона — Никодима, а также схемой построения меры. Кроме того, введено понятие равиостепенной абсолютной непрерывности семейства интегралов, более подробно изучены пространство измеримых функций и интеграл Радона.
Книга может быть использована как при изучении теории функций вещественной переменной в виде отдельной дисциплины, так и при прохождении теории меры и интеграла Лебега внутри общего университетского курса математического анализа.
