Алгоритм. Под алгоритмом для решения данного типа задач понимают точное описание (правило) выполняемого шаг за шагом процесса, который завершается через конечное число шагов решением любой задачи данного типа.
Существует мнение, что понятие алгоритма нельзя свести к более простым понятиям, и следует считать его неопределяемым точно так же, как и некоторые другие математические понятия, например, «множество», «соответствие» и т. д. Следовательно, понятие алгоритма должно быть усвоено интуитивно из рассмотрения примеров.
Статья посвящена анализу проблемы формирования современной реальности, а также осмыслению современных антропологических изменений в контексте фундаментальных принципов синтетической парадигмы философии. Главная цель работы заключается в демонстрации формирования основных религиозных принципов, которые оказали значительное влияние на последующие изменения в ментальной сфере человека. В основе анализа лежит идея того, что религиозные убеждения являются одним из ключевых факторов, определяющих наши взгляды, ценности и поведение в современном мире.
Числовое поведение и особенности семантики собирательных имен в эстонском языке исследуются на материале самого продуктивного форманта со значением собирательности -kond. Корпусные исследования существенно дополняют и вносят коррективы в уже имеющиеся результаты, полученные по лексикографическим источникам и грамматическим описаниям. Цель исследования состояла в выявлении специфики представления множественности в именах, которые, выражая собирательность, имеют полную числовую парадигму. Собирательные имена с формантом -kond обозначают множества однородных дискретных элементов, объединенных по разным критериям. Взаимосвязь представления множественности и числового поведения собирательных имен в эстонском языке ранее не рассматривалась. Результаты анализа показали, что тип представления количества элементов (как неопределенно большого или малого) оказывается существенным для разграничения множеств (в узком смысле) и совокупностей. Анализ контекстов употребления имен с -kond подтверждает предпочтение выбора плюральных форм в дистрибутивных и распределенных контекстах. Эмоциональные и нейтральные контексты также могут определять выбор числовой формы. Имя, выражающее множество, которое «нагружено» характеристиками разных типов, имеет тенденцию выбирать плюральные формы. Разработка темы взаимосвязи способа репрезентации множеств и грамматических особенностей имени позволяет находить новые закономерности, которые представляют интерес для разных теоретических и практических направлений лингвистики, таких как исследование полисемии, оценка тональности текста, поиск внутри- и межъязыковых соответствий.
Общее понятие алгоритма первично и не определяемо, а может бытьь только понято через его свойства, подобно понятию множества. Через вычислительные модели (машина Тьюринга, Колмогорова, нормальные алгоритмы Маркова) оно уточняется. То же относится к понятию исчисления, которое уточняется в конкретных дедуктивных системах (логические исчисления, формальная арифметика). Между алгоритмами и исчислениями существует тесная связь Для каждого алгоритма существует исчисление, порождающее область определения этого алгоритма, более того, можно указать исчисление, порождающее те и только те пары (x, y), для которых Ψ(x) = y. С другой стороны, для каждого исчисления существует алгоритм, область определения которого совпадает с множеством, порождаемым исходным исчислением. Каждый алгоритм задает функцию на своей области применимости, ее значения равны результату алгоритма Ψ(x). Применительно к исчислению можно говорить о породимых, разрешимых и перечислимых множествах. Тезисы Черча и Поста формулируются, соответственно, для вычислимой модели алгоритма и порождающей модели исчисления. С помощью общего понятия исчисления можно глубже осмыслить многие фундаментальные понятия математической логики. В частности, знаменитую теорему Геделя о полноте, утверждающую, что все истинные формулы логики предикатов 1-го порядка могут быть порождены некоторым исчислением. Другая знаменитая теорема Геделя о неполноте утверждает, что множество всех истинных формул арифметики (а, значит, и множество всех общезначимых формул логики предикатов 2-го порядка) не может быть порождено никаким исчислением. На базе понятия исчисления можно изложить всю дескриптивную теорию алгоритмов (наличие или отсутствие алгоритма без оценки затрат на достижение этой цели). Вычислимая функция - это функция, вычислимая каким-либо алгоритмом: при применении к какому-нибудь входу вычисляющий алгоритм должен не только давать результат, совпадающий со значением функции на этом входе, если такое значение существует, но; и не давать никакого результата, если функция не определена на данном входе. Породимое множество - это множество, порождаемое какимлибо исчислением. Перечислимое множество - это либо множество значений всюду определенной вычислимой функции натурального аргумента, либо пустое множество. Обе теоремы Геделя можно сформулировать в терминах перечислимости и неперечи-слимости соответствующих множеств. Множество называется разрешимым, или распознаваемым, если оно содержится в некотором породимом множестве X и для него существует разрешающий алгоритм. Алгоритм Ψ называется разрешающим алгоритмом для подмножества A множества X, если множество допустимых входов для Ψ совпадает с X и Ψ отвечает на все вопросы типа “x∈X & x∈A”. Проблема отыскания такого алгоритма называется проблемой разрешения для множества A.;
Вскрыты ошибки Кантора и его последователей в логических рассуждениях о бесконечных множествах. Приведено доказательство счетности континуума, счетности всех действительных чисел. Показана ошибочность рассуждений в задаче об “Отеле Гильберта”.
В 70-х годах XIX века немецкий математик Г. Кантор создал
новую область математики — теорию бесконечных множеств. Через несколько десятилетий почти вся математика была перестроена на теоретико-множественной основе. Понятия теории множеств отражают наиболее общие свойства математических объектов.
Обычно теорию множеств излагают в учебниках для университетов. В настоящей книге в популярной форме описываются основные понятия и результаты теории множеств.
Книга предназначена для учащихся старших классов средней
школы, интересующихся математикой, а также для широких кругов читателей, желающих узнать, что такое теория множеств.