SCI Библиотека

Книга представляет собой практическое руководство по применению метода конформных отображений. Содержит краткое изложение основных понятий теории, описание отображений, осуществляемых элементарными и некоторыми специальными функциями, а также методов отображения областей (односвязных и двусвязных), ограниченных прямолинейными отрезками или дугами окружностей.

Отдельный раздел посвящен приближенным методам конформных отображений (Теодорсена и Гаррика, Гершгорина и др.). Вторая часть книги представляет собой каталог конформных отображений.

Книга полезна для студентов, инженеров и научных работников в области гидродинамики и гидротехники, электро- и радиотехники и других лиц, имеющих дело с применением теории конформных отображений.

Книга представляет собой курс, читанный Анри Картаном на факультете наук в Париже. В нем излагаются основные идеи теории аналитических функций, причем особенно подчеркиваются связи классического материала с новыми понятиями современной математики.

Изложение вполне элементарно, курс освобожден от ряда второстепенных деталей, но наряду с общими идеями содержит и много конкретных методов.

Написанный крупным ученым, полный свежих идей, этот курс будет с интересом читаться студентами университетов и педвузов, преподавателями высших учебных заведений (в том числе и технических) и научными работниками — математиками, механиками и физиками.

Эта книга является результатом лекций, читанных мной в течение ряда лет в различных местах (Гёттинген, Берлин, Афины, Мюнхен и Гарвардский университет). Она содержит теорию конформных отображений в том виде, в котором эта теория была развита в течение двух последних десятилетий. Первая часть книги посвящена элементарным вопросам, необходимым для понимания общей теории. В трех последних главах дается изложение общей теории, построенной на простейших современных методах.

Оригинальная рукопись, написанная на немецком языке, была переведена В. М. Wilson’ом (университет в Ливерпуле) и Miss Margaret Kennedy (Ньюнемский колледж). Я выражаю им глубокую благодарность за внимание, с которым они старались сделать понятными читателю самые сложные рассуждения.

Я обязан также проф. Erhard Schmidt (Берлин) и проф. Tibor Radó (Колумбус, Огайо) за различные усовершенствования в математических доказательствах и Miss Margaret Kennedy за отдельные замечания, улучшающие текст. Я должен еще поблагодарить издательство Кембриджского университета (Cambridge University Press) за прекрасное внешнее оформление книги.

“Сборник задач по теории аналитических функций” предназначен для студентов университетов, пединститутов и ВТУЗов, изучающих теорию функций комплексного переменного. Он составлен с таким расчетом, чтобы его было удобно использовать при любом построении лекционного курса.

С этой целью отдельные параграфы написаны в основном независимо друг от друга и разбиты на циклы задач, объединенных общей идеей. Задачи повышенной трудности помещены, как правило, в конце циклов. Все основные факты и определения приведены там, где они используются.

Книга Гурвица и Куранта «Теория функций» уже издавалась на русском языке, правда, в виде двух книг (А. Гурвиц, Аналитические и эллиптические функции, М., 1933; Р. Курант, Геометрическая теория функций комплексной переменной, М., 1934). Обе эти книги использовались в качестве учебников по теории функций комплексного переменного, но были популярны и в своем истинном назначении — монографии по теории функций.

К настоящему времени изданные у нас книги Гурвица и Куранта стали библиографической редкостью. Поэтому, когда после сорокалетнего перерыва издательство Шпрингера выпустило новое издание «Теории функций», несколько переработанное самим Курантом и дополненное профессором Релем, издательство Наука решило заново перевести эту книгу. В процессе перевода я решил пойти на довольно серьезные отклонения от оригинала. Прежде чем объяснить причины, побудившие меня сделать такой шаг, я хочу рассказать о книге в ее прежней редакции.

Теория автоморфных функций, в частности эллиптических и модулярных, функций одного комплексного переменного была создана в конце XIX и начале XX веков Клейном, Пуанкаре, Кебе и др. Для этой теории особенно характерным является наличие многочисленных связей с другими частями математики: теорией групп, топологией, теорией римановых поверхностей, теорией алгебраических функций, дифференциальными уравнениями. Благодаря этому развитие теории автоморфных функций в свое время оказало большое влияние на развитие всей математики.

Книга К. Зигеля посвящена теории автоморфных функций нескольких комплексных переменных. В настоящее время эта теория разработана с гораздо меньшей полнотой, чем теория автоморфных функций одного переменного, однако накопленный в ней материал позволяет надеяться, что дальнейшее ее развитие обнаружит еще более важные закономерности и связи.

ГК-метод базируется на двух идеях Гельмгольца и Кирхгофа. Более 100 лет потенциал этих идей был скован техникой конформных отображений плоскости годографа. Показывается, что освобожденный от оков этой техники, ГК-метод имеет весьма широкую область применения. Это иллюстрируется на примере семи различных тем.

Представлены теоремы существования и несуществования, единственности и неединственности, а также некоторые явные конструкции и формулы, задающие решения двумерных задач со свободной границей для гармонических функций.

Среди полученных результатов: формулы, выражающие зависимость от граничного управления силы любого сопротивления при обтекании тела нестационарным потоком с вихревыми особенностями; экспоненциально точные высокочастотные асимптотики; оценка КПД турбины в открытом потоке; теоремы, относящиеся к прямой и обратной задачам о равновесии плазмы в токамаке и пр.

Читатель, без сомнения, не раз встречался с комплексными числами. Первые сведения о них даются в курсе элементарной алгебры.

В начале курса теории функций комплексного переменного необходимо дать систематизированное изложение учения о комплексном числе. В теории функций действительного переменного числовые значения независимого и зависимого переменного черпаются из совокупности действительных чисел; в теории функций комплексного переменного числовые значения независимого и также зависимого переменного черпаются из совокупности комплексных чисел.

В дальнейшем приняты сокращенные обозначения:
ТФДП — теория функций действительного переменного,
ТФКП — теория функций комплексного переменного.

Автор настоящей книги Геннадий Михайлович Голузин родился в 1906 году в городе Торжке. В 1924 году он поступил на математический факультет Ленинградского государственного университета. С этого времени и до конца жизни не прерывалась его связь с Университетом. В начале 1929 года он защитил свою дипломную работу, которая тогда же была напечатана в “Математическом сборнике”. После окончания Университета Г. М. Голузин начал свою преподавательскую деятельность. В 1936 году он блестяще защитил докторскую диссертацию и в 1938 году получил звание профессора.

С 1939 года Г. М. Голузин возглавлял кафедру теории функций комплексного переменного в Ленинградском государственном университете, где с большой энергией и любовью вел как преподавание, так и руководство научной работой молодых ученых. В течение ряда лет он входил в число основного состава редколлегии специальных журналов, издаваемых в СССР. В 1962 году вышла его монография по геометрической теории функций комплексного переменного.

Владимир Васильевич Голубев рассказывал о себе автору этих строк, что в свои студенческие годы он собирался изучать физику и механику, но под влиянием Д. Ф. Егоровa избрал математику. Здесь его внимание привлекла теория аналитических функций.

Особое впечатление на В. В. производили применения этой теории к проблемам механики задача вращения твердого тела вокруг неподвижной точки (С. В. Ковалевская), задача трех тел (Брунс, Пуанкаре, позднее Зундман).