SCI Библиотека

В настоящей работе рассматриваются некоторые задачи теории устойчивости решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из основных методов решения таких задач является метод функции Ляпунова.

Этот метод, данный А. М. Ляпуновым в его работе «Общая задача об устойчивости движения», получил в последнее время широкое развитие в приложении ко многим новым задачам устойчивости. Достаточно полно были решены задачи обоснования метода, выяснены вопросы существования функций Ляпунова, в ряде работ была доказана возможность приложения метода для исследования систем, описываемых аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложение этих вопросов и составляет содержание данной работы.

В книге решаются главным образом общие теоретические вопросы о возможности метода Ляпунова и некоторых других приемов приложения метода к исследованию конкретных задач устойчивости. В первой части (главы I—V) рассматриваются задачи устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В главе I приводится общий обзор метода Ляпунова и обсуждаются приложенные к этим теориям вопросы, в т. ч. задачи построения функций Ляпунова. В главах II—III рассматриваются возможные модификации метода.

В современных теоретических схемах математической физики большое значение имеют теория функций вещественного переменного, различные функциональные пространства и общая теория операторов. Этим вопросам в основном и посвящена настоящая книга, которая написана на основе пятого тома моего „Курса высшей математики“, вышедшего в 1947 году.

Содержанием теории функций вещественного переменного в настоящей книге является теория классического интеграла Стилтьеса, интеграла Лебега—Стилтьеса и теория вполне аддитивных функций множеств.

В первой главе изложена теория классического интеграла Стилтьеса, а также рассмотрено более общее определение интеграла Стилтьеса по промежутку любого типа, основанное на совпадении соответствующих верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного промежутка на промежутки любого типа.

В качестве примеров классического интеграла Стилтьеса рассматриваются интегралы Фурье—Стилтьеса и Коши—Стилтьеса. Для них устанавливаются формулы обращения. Интеграл Стилтьеса определяется и для случая плоскости.

О наше время мы так привыкли к самолетам, что даже не поднимаем головы, услышав знакомый гул в небе. Однако, хотя самолет внешне знаком всем, далеко не все знают, как он устроен и почему летает, какие физические законы при этом используются. Полет птицы кажется более понятным. Птица машет крыльями и как бы отталкивается от воздуха. Почему же летает самолет? Ведь его крылья неподвижны! Что создает подъемную силу, способную поддерживать в воздухе тяжелую машину? Как летчик управляет этой силой и сохраняет равновесие крылатой машины? Почему самолет может делать в воздухе разнообразные фигуры? Ответы вы найдете в этой небольшой книжке.

Где бы ни применялось радио, оно всегда открывает новые и невиданные ранее возможности дальнейшего технического прогресса. Мы постепенно привыкаем к достижениям радиотехники, перестаем замечать их, как только они входят в наш быт и нашу повседневную жизнь. Жизнь требует новых средств связи — надежных, обладающих большой емкостью, дешевых и не требующих значительной затраты времени на их установку и ввод в эксплуатацию. Техника радиорелейной связи впитала в себя лучшие достижения и радиолокации, и проводной многоканальной связи, и электровакуумной техники. О принципах работы радиорелейных линий и различных их применениях рассказывается в этой книге.

Небольшая, но содержательная монография “Интеграл Лебега — Стилтьеса”, принадлежащая известному немецкому математику Э. Камке, представляет собой прекрасное введение как в общую (метрическую) теорию функций вещественной переменной, так и в некоторые специальные главы этой теории. Ряд вопросов изложен в книге весьма оригинально, и есть все основания считать, что ее перевод будет полезным дополнением к имеющейся у нас литературе по теории вещественных функций.

В ряде мест настоящего издания мы отклоняемся от принимаемой автором символики с тем, чтобы употребляемые обозначения согласить с принятыми в русской литературе. В частности, мы совершенно не пользуемся той стилизацией готического шрифта, которая применяется автором, а заменяем ее полужирным латинским шрифтом. Из других отклонений от оригинала отметим, что ссылки на немецкую учебную литературу мы заменили ссылками на подходящие советские руководства.

В тех местах, где изложение представляло нам недостаточно ясным, мы сопровождали его подробными разъяснениями, отметив их словами: Прим. перев. Наконец, необходимое текущее изменение авторского текста мы позволили себе произвести без соответствующих оговорок.

Теория обобщенных функций — оформившаяся в последние годы область функционального анализа; она возникла в связи с потребностями математической физики и позволила правильно поставить и разрешить ряд классических проблем прикладного значения. В настоящем выпуске рассматриваются главным образом основные понятия теории обобщенных функций, действия над обобщенными функциями и т. д.

Первые две главы представляют собой элементарное введение в эту теорию. Третья глава несколько труднее для чтения и содержит более специальный материал. Выпуск рассчитан на научных работников в различных областях математики, физики и смежных наук, на аспирантов и студентов (математиков и физиков) старших курсов университетов. Он будет также интересен и полезен для инженеров.

Понятие функции. Способы задания функций. Определение. Одна величина называется функцией двух пе-ременных величин, если каждой рассматриваемой паре значений этих величин соответствует одно или несколько определённых значений первой величины.

Те две переменные, которые изменяются произвольно (значения которых мы назначаем по нашему выбору), называются независимыми переменными.

Опыт преподавания в течение двух лет по предыдущему изданию «Курса» (издания 1950, 1951 гг.), а также критика со стороны лиц, пользующихся «Курсом» как учебником для студентов высших технических учебных заведений, позволили выявить некоторые его дефекты. Цель переработки и заключалась в устранении этих дефектов. Прежде всего из книги исключено всё, что более или менее значительно выходило за пределы программы по высшей математике для вузов и что нельзя было рассматривать как необходимое углубление программного материала.

Во многих местах книга подверглась большому сокращению за счёт удаления сведений и рассуждений, хотя и уточняющих какие-нибудь положения с чисто математической точки зрения, но затрудняющих усвоение главного предмета.

В ряде пунктов упрощена конструкция изложения, доказательства заменены более простыми и чёткими (см. пункты об асимптотах, о формулах Лагранжа и Коши, о формуле Тейлора, о независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования и др.).

В книге «Занимательная геохимия» академик Александр Евгеньевич Ферсман рассказал о своей многолетней работе над созданием новой ветви геологической пауки — геохимии, стремясь показать химическую жизнь нашей планеты так, как она рисовалась его обогащенному научным опытом воображению.

Эта новая ветвь науки о земле возникла в начале нашего века и изложена в трудах выдающихся советских ученых — академиков В. И. Вернадского и А. Е. Ферсмана.

В брошюре Покровского «Наука и техника в современных войнах» говорится о большой роли современной науки и техники в военном деле. Автор рассматривает важнейшие проблемы естественных и технических наук, связанные с военным делом. Брошюра не претендует на полноту освещения затронутых в ней вопросов, на всестороннее их рассмотрение. Автор стремился дать материал для суждений на эту тему, помочь военнослужащим в развитии творческой мысли и в самостоятельной работе по обобщению опыта учебы, воспитания и боевой подготовки, в выработке смелого, верного научного предвидения, чтобы никакие неожиданности не могли застать их врасплох. Брошюра рассчитана на офицеров Советской Армии, Авиации и Флота.