SCI Библиотека

В монографии изложены основы тензорной тригонометрии,
базирующейся на квадратичных метриках в многомерных арифметических пространствах. В теоретическом плане тензорная тригонометрия естественным образом дополняет классические разделы аналитической геометрии и линейной алгебры. В практическом плане она даёт инструментарий для решения разнообразных геометрических задач в многомерных аффинных, евклидовых и псевдоевклидовых пространствах. Движения, определяемые тензорной тригонометрией, задают геометрию в малом для вложенных в них подпространств постоянной кривизны.

Кроме того, тензорная ротационная и деформационная тригонометрия в элементарной форме применена к изучению движений в неевклидовых геометриях – сферической и гиперболической, а также в теории относительности. В результате получены наиболее общие – матричные, векторные и скалярные представления этих движений в весьма наглядной тригонометрической форме. Новые методы тензорной тригонометрии предназначены для применения в ряде областей математики и математической физики.

Для специалистов в областях многомерных геометрий арифметических пространств, аналитической геометрии, линейной алгебры, неевклидовых геометрий и теории относительности; для преподавателей, аспирантов и студентов физико-математических специальностей.

Книга составлена из двух небольших и хорошо дополняющих одно другое сочинений известных американских ученых. Она может служить для первоначального ознакомления с новой математической дисциплиной, интерес к которой за последние годы очень возрос. Идеи дифференциальной топологии оказались чрезвычайно плодотворными в геометрии, анализе, теории дифференциальных уравнений, а также в различных приложениях математики. Авторы излагают начальные понятия этой дисциплины, иллюстрируя их большим количеством примеров.

Книгу следует рекомендовать всем, начинающим изучать современную математику. Она доступна для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов, но будет также интересна как специалистам, так и всем, кто желает получить представление о математике наших дней.

Решая геометрическую задачу, полезно представить себе, что будет происходить с элементами рассматриваемой фигуры, если некоторые ее точки начнут двигаться. Зависимость одних элементов от других может стать при этом наглядно очевидной, и решение задачи бросится в глаза.

Связи между величинами отрезков, углов и т. п. в геометрических фигурах обычно являются более сложными, чем связи между скоростями изменения этих величин в процессах деформации фигур. Поэтому для решения геометрических задач может быть полезной “теория скоростей” — кинематика.

В этой брошюре на нескольких примерах демонстрируется применение кинематики к задачам элементарной геометрии и приводится некоторое количество задач для самостоятельного упражнения. Необходимые общие сведения из кинематики (и векторной алгебры) излагаются предварительно.

Брошюра написана на основе лекций, прочитанных в школьном математическом кружке при Харьковском государственном университете им. А. М. Горького. Она рассчитана на учащихся 9–10 классов.

Данный сборник задач предназначается учителям и учащимся школ (классов) физико-математического направления. В нем представлены задачи по курсу планиметрии VIII – IX классов, относящиеся к геометрии треугольника. В сборнике приводятся как классические задачи, так и задачи, составленные в последнее время, при этом предпочтение отдавалось теоремам и задачам на доказательство, результаты которых часто используются при решении других задач. При составлении сборника использовались журналы “Квант” и “Математика в школе” за последние годы, а также задачники и пособия, приведенные в списке литературы в конце сборника, часть задач составлена авторами. При ссылках на задачи сборника принята двойная нумерация, где первая цифра обозначает номер параграфа, а вторая - номер задачи в этом параграфа (например, 4.11 — задача 11 § 4). Если ссылка дается на задачу этого же параграфа , то его номер опускается. Некоторые задачи приведены в разных параграфах, к ним даны различные решения.