Этот курс дифференциальных уравнений представляет собой один из томов моего курса математики. Он подготовлен к печати в течение летних месяцев этого года, и появился в итоге моего довольно продолжительного изучения теории интегрирования дифференциальных уравнений, попыток ее дальнейшей разработки и стремления применить и известные, и полученные мною результаты к решению некоторых задач из области чистой и прикладной математики, а также из области инженерно-технических наук.
Только некоторые первые параграфы из первых глав этой книги представляют собой обработанный для печати материал из моих лекций студентам различных технических институтов, так как я меньше всего занимался преподаванием как раз именно теории дифференциальных уравнений; некоторые главы из середины книги отчасти являются переработкой того, что излагалось мною на лекциях аспирантам Научно-исследовательской кафедры математики в Киеве в 1928–1930 годах и аспирантам при Артиллерийской Академии РККА в Ленинграде в 1933 г.
Начиная с середины прошлого века заботы математиков направились к достижению абсолютной строгости в их работах. Эта тенденция привела к ряду изысканий, объединяемых одним общим именем теория функций действительного переменного. Несмотря на то, что образующие ее исследования крайне многочисленны и имеют в настоящее время даже свой собственный орган, они группируются около сравнительно небольшого числа идей.
И, сообразно этому, теория функций действительного переменного может быть разделена на три области: метрическую, дескриптивную и топологическую. Ввиду того, что топология послужит предметом специальной статьи, мы коснемся в настоящем обзоре лишь достижений, сделанных в последнее время первыми двумя областями.
Это первая уральская научно-популярная книга для детей и юношества, которая посвящена геологии Урала и советским успехам в изучении и использовании месторождений. Она была написана вскоре после начала широкомасштабной индустриализации Урала и Сибири, в ходе которой были воздвигнуты многие советские предприятия тяжелой промышленности. Книга в частности объясняет читателям, какими месторождениями богат Урал и для чего эти материалы используются. Ее автор, Александр Гаврилович Бармин (1900-1952) - детский писатель, основная тема творчества которого - история Урала и его горные богатства, мастера и изобретатели.
Изучение функций, определенных дифференциальным уравнением, во всей области их существования является задачей, полное разрешение которой невозможно при современном состоянии анализа. Однако, ограничившись изучением интегралов, бесконечно близких к уже известному интегралу, удалось получить чрезвычайно интересные результаты.
Именно таким путем А. Пуанкаре в своих замечательных работах, посвященных “Задаче о трех телах”, доказал существование бесконечного множества периодических решений и решений асимптотических к периодическим. Разыскание решений, бесконечно-близких к известному решению, привело его к системе линейных дифференциальных уравнений, которые он называет уравнениями в вариациях_; аналогичная система для уравнений с частными производными была ранее рассмотрена Г. Дарбу ** под названием _вспомогательной системы.
Результаты А. Пуанкаре были с тех пор использованы Пэнлеве *** и другими математиками при решении задачи чистого анализа, а именно при образовании дифференциальных уравнений с неподвижными критическими точками.
Из самого происхождения этого уравнения очевидно, что всякая функция, определяемая соотношением (1), удовлетворяет уравнению (3), каковы бы ни были значения, даваемые постоянным c. Соотношение (1) называется частным интегралом дифференциального уравнения (3). Совокупность этих частных интегралов называется общим интегралом того же уравнения.
Мнимым количеством, или комплексным количеством, называется всякое выражение вида a + bi, где a и b — какие-нибудь действительные числа, и i — особый символ, ввести который оказалось нужным, чтобы придать алгебре больше общности.
В сущности, на комплексное количество можно смотреть как на систему двух действительных количеств, взятых в определенном порядке. Хотя выражения вида a + bi и не имеют сами по себе никакого конкретного значения, тем не менее, условились применять к ним обыкновенные правила алгебраического вычисления при условии заменять повсюду выражение i² через -1.
Общие замечания. Выше (§ 5) мы имели общие условия сходимости ряда. На практике, для того чтобы узнать, является ли данный ряд сходящимся или расходящимся, всего чаще пользуются признаками менее общими, но зато более удобными для применения. Мы приведем из них лишь наиболее употребительные, которые оказываются достаточными для большинства приложений.
Сначала мы сделаем несколько замечаний, которые непосредственно выводятся из самого определения сходимости:
Книга Э. Гурса “Курс математического анализа” уже приобрела у русских читателей заслуженную известность и признание. По объему это руководство является одним из наиболее полных в современной мировой математической литературе; в то же время излагаемые факты выбраны не по принципу энциклопедичности; выбор проникнут одной руководящей мыслью — дать необходимый материал, на котором основывается разработка наиболее важных проблем современной науки.
Книга уже принесла большую пользу нашей университеской учащейся молодежи как пособие для углубления обычного курса анализа и для самообразования; можно смело сказать, что она много способствовала повышению уровня нашей математической культуры.
Это издание отличается от предшествующих двух немногим, но существенными дополнениями и изменениями, обещанными мною в предисловии ко второму изданию. При этом мною были учтены и те замечания, которые мне были сделаны рядом товарищей и за которые я приношу им благодарность.
Однако, должен оговориться, далеко не со всеми указаниями мог я согласиться и, разумеется, только те из них, которые казались мне справедливыми, были учтены мною. Я не оставил, впрочем, без внимания и тех возражений, которые я считал несостоятельными. На некоторые из них я ответил в примечаниях к соответствующим местам текста; я старался по возможности точнее сформулировать эти возражения и противопоставить им свою точку зрения.
Хочу надеяться, что приведённые мною аргументы смогут повлиять, по крайней мере, на часть моих оппонентов. Надеюсь также, что при этом будет учтён и почти двухгодичный опыт использования этой книги в качестве учебного пособия в руках десятков тысяч учащихся.
Второй том Курса анализа бесконечно малых de la Vallée Poussin’a сейчас впервые появляется на русском языке. Первый том, уже однажды издававшийся (Научным книгоиздательством в 1922 г.), вскоре будет переиздан.
Перевод, в основном, сделан со второго французского издания; последующие издания не содержат уже изложения теории и приложений интегралов Лебега, столь важных для современного анализа, и это заставило нас предпочесть более старое издание. Вместе с тем мы восстановили и теорию эйлеровых интегралов (которыми автор пожертвовал для того, чтобы освободить место для интегралов Лебега), взяв ее из первого французского издания.
