Электронная версия свободно распространяется в сети Интернет, она бесплатна для персонального использования и учебных целей. Любое коммерческое использование без письменного согласия автора запрещено.
Книга рассчитана как учебное пособие по основному курсу многомерной геометрии и линейной алгебры. На математическом факультете Башкирского Государственного университета этот предмет изучается на первом курсе во втором семестре. Он входит в программу базового математического образования для физико-математических факультетов и изучается во всех университетах России.
Подготовка книги к изданию выполнена методом компьютерной верстки на базе пакета AMS-TeX от Американского Математического Общества. При этом были использованы кириллические шрифты семейства Lh, распространяемые Ассоциацией CyrTUG пользователей кириллического TeX’а.
Настоящая монография представляет обзор важнейших результатов, полученных в настоящее время по теории Галуа. Теория Галуа, как отдельный комплекс проблем и методов, выделяется в математической литературе, насколько мне известно, впервые (см. также мой обзорный доклад на Цюрихском конгрессе математиков, 1932 г.).
Наряду с классической теорией Галуа, посвященной решению уравнений в радикалах (которой посвящена глава II этой монографии), сюда включена проблема построения уравнений с заданной группой (глава III); — проблема, для решения которой привлечены теория идеалов, p-адическое числа, а также теория рациональных функций многих переменных (проблема Лиорота). Далее, глава IV посвящена проблеме резольвент — проблеме, поставленной первоначально Ф. Клейном в более узкой формулировке (проблема форм), а затем расширенной Д. Гильбертом (13-я проблема его доклада на Парижском конгрессе в 1900 г.).
Проблема резольвент потребовала привлечения теории непрерывных групп, теории, весьма далекой от алгебры по своему методу. Наконец, глава содержит ряд обобщений теории Галуа; с одной стороны, распространенных концепт. Галуа на поля более общего вида; а с другой стороны с привлечением решений не групповыми методами, но близких к теории Галуа по теме. Сюда относятся: теория абелевых и аналогичных интегралов, и модульные функции. Эти обобщения имеют разное значение, должны в будущем составить главы Науки о рациональном.
Появление в свет настоящей книжки вызвано желанием несколько восполнить пробел в нашей литературе по теории алгебраических функций. Это обширное направление, которое во второй половине прошлого века владело умами весьма многих, притом лучших, математиков, затем одно время как будто было забыто, теперь снова возрождается в модернизированном виде, и связано с новыми интересными проблемами.
У нас и раньше были специалисты, посвятившие себя теории алгебраических функций, как, например, Долина (интегрирование абелевых интегралов в конечном виде), Покровский (теория гиперэллиптических функций); у нас был довольно обстоятельный учебник Тихомандрицкого и краткий курс Ермакова, правда, не свободный от ошибок. Однако в последнее время теория и её способ изложения настолько изменили своё лицо, что перечисленные книги надо считать устаревшими.
В 144 томе J. f. r. u. a. Math. Громмер доказал, что достаточным условием вещественности корней трансцендентного уравнения является положительность всех вариантов Штурма — Борхардта (только здесь их будет бесчисленное множество). В своем доказательстве он пользуется разложением трансцендентных функций в непрерывные дроби, причем попутно затрагивает вопросы из мало исследованной области в теории множеств.
Это побудило меня попытаться достичь тех же результатов приемами элементарного характера. Именно, я воспользовался обобщением на трансцендентные уравнения способа Грефдера для приближенного вычисления корней (это обобщение уже опубликовано Поля в одном из послевоенных томов Ztschr. f. Math. i. Phys.). Здесь корни располагаются в порядке возрастающих модулей.
И вот оказалось, что положительность вещественных или комплексных корней, занимающих четные места, причем четность места, имеется четную зависимость, однако, оказалось, что знание характера конечного числа вариантов ничто не говорит о характере корней.
Николай Григорьевич Чеботарев был одним из крупнейших современных алгебраистов. Работы его о плотностях простых идеалов и о резольвентах принадлежат к числу наиболее выдающихся алгебраических работ последних десятилетий.
Николай Григорьевич родился 15 июня 1894 г. Еще в младших классах гимназии начали обнаруживаться его исключительные математические способности. В 1912 г. Н. Г. поступает в Киевский университет. Эти годы были годами расцвета алгебраической школы Д. А. Граве. Н. Г. посещает семинары Граве, изучает теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций и многое другое; в эти же годы он делает первую работу — доказывает свою “арифметическую теорему монодромии” о том, что композиции группы инерции образуют группу Галуа.
На 1915 и 1916 годы Киевский университет в связи с войной эвакуируется в Саратов; здесь, передал Граве, созревает Чеботарев. В своей “арифметической теореме монодромии” Чеботарев дал глубокое и плодотворное аналитическое истолкование к данному вопросу, что позднее прославило его имя.
Настоящая книга является продолжением части I «Основы теории Галуа», изданной ОНТИ в 1935 г., и посвящена исследованию свойств алгебраических чисел в связи с теорией Галуа. Она предназначена для научных работников и аспирантов-специалистов.
Настоящая книга не является первой в русской литературе, в которой излагается теория Галуа. Она изложена в курсах алгебры Ващенко-Захарченко, Граве, Сушкевича; ей посвящено несколько монографий на русском языке.
Теория Галуа вышла из рамок, которые были намечены ее творцом. Вопрос о решении уравнений в радикалах перестал быть центральным в алгебре, но теория Галуа продолжает играть в ней главную роль. Появилось немало других алгебраических вопросов, решаемых при помощи теории Галуа: связь между групповой и арифметической природой уравнений, проблема резольвент и т. п.
Я не говорю уже о том, что идеи Галуа глубоко проникли в другие отделы математики и частью создали, частью подвинули вперед такие математические дисциплины, как дифференциальные уравнения, автоморфные функции, комбинаторную топологию и т. п.
Известна фундаментальная роль, которую сыграли исследования Ньютона в развитии анализа бесконечно малых. Большинство его идей растворилось в работах позднейших авторов, часто не сохранив ни имени Ньютона, ни его способа обозначений.
Но в современной математике известно немало методов и результатов более частного характера, носящих имя Ньютона. Их значение было вскрыто лишь в гораздо более позднюю эпоху, когда общий прогресс математики дал возможность оценить важность того или иного результата Ньютона, записанного часто в виде небольшого замечания.
К числу такого рода результатов относится «многоугольник», или, как его часто называют, «параллелограм» Ньютона, который и будет служить предметом настоящего обзора.
Эта небольшая книжка издаётся по рукописи, оставшейся после безвременной кончины Николая Григорьевича Чеботарёва летом 1947 г.
Рукопись, по всей вероятности, должна была составить часть одной из глав давно задуманной Н. Г. Чеботарёвым третьей части его известной книги «Теория Галуа». Однако она представляет ценность и независимо от общего замысла книги, так как содержит достаточно законченный круг вопросов, а принятый автором способ изложения прельщает очень умеренными требованиями к первоначальной подготовке читателя: чтение почти всей книжки доступно уже при том небольшом знакомстве с теорией полей, которое предусмотрено программами первого курса университетов, и только заключительные параграфы требуют знания элементов теории Галуа.
Эта особенность книжки, можно надеяться, в значительной степени способствует освоению новейших систем, созданных в последние десятилетия.
По замыслу автора книга должна служить одновременно и учебником по теории групп, предназначенным для студентов и аспирантов, и монографией по некоторым избранным разделам этой дисциплины, находящимся в настоящее время в центре внимания специалистов.
Первые десять глав, снабженные упражнениями, представляют классический курс теории групп и могут быть использованы в качестве учебника. Последние десять глав носят более специальный характер и посвящены избранным вопросам теории групп.
Книга доступна студентам математических факультетов университетов и пединститутов; студенты-физики найдут в этой книге необходимые им элементы теории представлений групп; специалист же найдет в ней изложение результатов, опубликованных только в журнальной литературе.
