Книга предназначается для активного изучения расширенного курса линейной алгебры и основ функционального анализа. Многие теории и построения, представленные в книге, являются конечномерными моделями соответствующих оригинальных теорий и построений из функционального анализа. При этом, сохраняя свое идейное содержание, они становятся существенно более доступными.
В целом книгу можно рассматривать как изложение линейной алгебры с точки зрения функционального анализа. Но вместе с тем в ней встречаются также некоторые существенно конечномерные теории. Весь материал книги изложен в форме задач на доказательство. Вначале рассматриваются геометрия комплексного линейного пространства и спектральная теория линейных операторов в этом пространстве. Затем изучается унитарное пространство, в котором строится спектральная теория самосопряженных и унитарных операторов. Далее вводится понятие нормы, рассматриваются геометрия нормированных пространств и некоторые свойства операторов в этих пространствах.
После некоторого отступления в область полилинейной и внешней алгебры вводится вещественное линейное пространство и рассматриваются вопросы, связанные с комплексификацией и декомплексификацией, а также элементы дифференциального исчисления для отображений. На основе излагаемой далее теории выпуклых множеств изучаются вопросы разложения собственных значений и сингулярных значений линейных операторов.
После этого в вещественном линейном пространстве вводится отношение порядка и в упорядоченном пространстве строится теория линейных неравенств, а также теория линейной и нелинейной оптимизации. Далее, уже в комплексном пространстве, систематически излагается теория расширенной оптимизации, и в заключение рассматриваются некоторые специальные классы операторов.
В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. д. В то же время ни в советской, ни в иностранной литературе нет книги, которая достаточно полно освещала бы как вопросы теории матриц, так и разнообразные её приложения.
Данная книга представляет собой попытку восполнить этот пробел в математической литературе. В основе книги лежат курсы лекций по теории матриц и её приложениям, читанные автором в разное время на протяжении последних 17 лет в Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова, в Тбилисском Государственном университете и в Московском физико-техническом институте.
В настоящее четвёртое издание добавлен новый параграф «Тензорное произведение» (§ 25), написанный совместно с М. И. Граевым.
Добавлены также п. 6 в § 9 и текст, напечатанный мелким шрифтом, в конце п. 2 § 23. Автор благодарит читателей А. Г. Карновского (г. Кауннас) и Ю. Г. Шмелакова (г. Москва) за замечания, позволившие исправить ряд опечаток и погрешностей.
Жизнь и творчество Эвариста Галуа (Évariste Galois, 1811—1832) представляют собой совершенно исключительное в истории наук явление. Молодой человек, не достигший 21 года, совершает в математике переворот, ставя её на совершенно новые рельсы.
Исследуя вопрос об условиях разрешимости алгебраических уравнений в радикалах невозможность такого решения для произвольного уравнения степени выше четвёртой была незадолго до этого доказана Абелем (Niels-Henrik Abel, 1802—1829), он даёт полное его принципиальное решение.
Полученные им результаты позволяют решить для всякого заданного уравнения при помощи конечного числа действий вопрос, разрешается ли оно в радикалах. Но несравненно большую ценность для математики имеет построенный им аппарат, при помощи которого он достиг своих результатов.
Выражаясь современным языком, Галуа предложил изучать структуру алгебраических полей, сопоставляя с ними структуру групп конечного числа символов (подстановок), допускающих те же самые действия над ними.
В книге излагаются основные результаты теории симплициальных множеств и их применения к алгебраической топологии. Отличительной её чертой является последовательное использование общих понятий теории категорий и функторов, которые развиваются на топологическом материале.
Идеи, излагаемые в книге, играют объединяющую и унифицирующую роль в различных отделах математики. Поэтому книга заинтересует представителей самых разных математических специальностей, в первую очередь топологов и алгебраистов. Она рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и преподавателей университетов и пединститутов.
Монография одного из крупнейших современных математиков, написанная на основе курса лекций, прочитанного автором в Принстонском университете.
Содержит изложение теории алгебраических чисел, в том числе теории полей классов, являющееся, по-видимому, на много лет окончательным. Книга представляет интерес не только для специалистов по теории чисел, но и для математиков, занимающихся алгебраической геометрией, теорией автоморфных функций и т. д. Она написана очень четко и доступна студентам старших курсов.
С тех пор как мне удалось в 1925 г., комбинируя инфинитезимальные методы Э. Картана и интегральный метод И. Шура, определить характеры полупростых непрерывных групп, я поставил своей целью вывести главные результаты для наиболее важных из этих групп, в частности, для полной группы невырожденных линейных преобразований и для ортогональной группы, прямым алгебраическим построением. Благодаря, главным образом, работам и сотрудничеству Р. Брауэра в течение последних нескольких лет, я в настоящее время обладаю всеми необходимыми для этого средствами.
Задачу можно точно охарактеризовать следующим образом: разложить пространство тензоров заданного ранга на его неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований в положении в основу векторного пространства. Другими словами, предметом нашего изучения будут различные типы линейных преобразующихся “величин”, которые можно приготовить из материала тензоров при режиме той или иной группы.
Таким образом, образованием одной из стержней это книги, в соответствии с её поименованием, является именно задача разложения пространства определенных, весьма предельных объектов в такие специальные суммы, что каждая из них остается непреобразованной при всех сражениях, но в пространстве полной характеристикой нет. Однако я не пытался достаточно просто характеризировать.
В сборник включены работы по теории квази-групп (отдельным классам квазигрупп и луп, n-арным квазигруппам, группоидам с делением), по геометрическим вопросам теории квазигрупп, а также по комбинаторным аспектам теории квазигрупп.
Особое внимание обращено на взаимосвязь квазигрупп, латинских квадратов и алгебраических сетей, которые являются различными аспектами одного и того же объекта. Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся по алгебре.
В заглавии книги Р. Бэра стоят соединенные союзом “и” названия двух важных и уже давно сложившихся ветвей математики — линейной алгебры и проективной геометрии. В действительности же эта книга посвящена изложению одной математической дисциплины, новой и еще не получившей названия, но уже успевшей накопить большое содержание и обладающей достаточно четко очерченной областью исследования.
Этот новый раздел математики целиком относится к алгебре, и вместе с тем поглощает по существу все основное содержание проективной геометрии. Благодаря выходу рассматриваемой книги широкие круги математиков получают возможность ознакомиться с сегодняшним состоянием проективной геометрии и, быть может, впервые узнать, что проективная геометрия должна сейчас рассматриваться уже не как ветвь геометрии, а как органическая составная часть алгебры.
В книге излагаются результаты теории конечных расцепляемых групп, полученные на протяжении примерно 70 лет различными авторами. Интерес представляют не только приведенные в работе данные, но и методы их получения.
Монография предназначена для специалистов в области алгебры, а также для аспирантов, студентов старших курсов вузов.
