Эта книга представляет собой второй том фундаментальной монографии по теории линейных операторов (первый том был выпущен Издательством иностранной литературы в 1962 г.); она посвящена многочисленным приложениям теории линейных операторов к различным вопросам анализа, в частности, общей теории ограниченных и неограниченных самосопряжённых операторов, спектральной теории симметрических обыкновенных дифференциальных операторов и операторов с частными производными.
Изложение построено таким образом, что читателю почти не приходится прибегать к другим источникам, в том числе и к первому тому.
Книга рассчитана на математиков различных специальностей; она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов математических факультетов университетов и педвузов. Она представляет интерес также для физиков-теоретиков, поскольку теория линейных операторов находит широкое применение в современной физике.
Первый том фундаментальной монографии по теории линейных операторов (второй том — «Спектральная теория» — вышел в США в 1961 г.) Автор дает как исчерпывающий обзор общей теории линейных операторов (т. I), так и многочисленные её применения к различным вопросам анализа (т. II).
Первый том содержит подготовительный материал теоретико-множественные, топологические и алгебраические понятия, основные принципы линейного анализа, теорию интегрирования и функций множеств. Далее идут примеры специальных пространств, обзор слабых топологий, теория операторов и общая спектральная теория. Последняя глава первого тома посвящена некоторым приложениям (полугруппы и эргодическая теория). Том снабжен огромной библиографией, доведённой до последних лет.
Книга написана четким языком и снабжена многочисленными упражнениями, она может поэтому служить учебником по теории линейных операторов. Книга доступна студентам старших курсов математических факультетов университетов и педвузов; студенты, изучающие математический анализ, интегральные уравнения и функциональный анализ, после курса физики найдут в ней много интересного. В систематическом изложении авторов основным аппаратом современных исследований (квантовой механики и квантовой теории поля). Для специалистов книга послужит исчерпывающим справочником.
Эта книга — заключительный том хорошо известной фундаментальной монографии по теории операторов, первые два тома которой вышли в русском переводе в Издательстве иностранной литературы в 1962 г. и в издательстве «Мир» в 1966 г. соответственно. Третий том посвящен спектральным операторам — важному классу несамосопряжённых операторов. В нём систематически излагается теория этих операторов, рассматривается вопрос об их месте в общей теории, изучаются волновые операторы.
Нет сомнения, что этот том, как и предыдущие, заслужит широкое признание математической общественности.
Книга интересна специалистам в различных областях математики, теоретической физики, а также всем, кто хочет обстоятельно изучить современный математический анализ. Она доступна студентам-математикам университетов и педагогических институтов.
Единственная в мировой литературе монография, посвящённая строгому качественному исследованию гамильтоновых операторов. Написана на основе оригинальных работ авторов. Ими получено описание спектра для широкого класса операторов при весьма слабых ограничениях. Русское издание снабжено дополнением, отражающим современные результаты по многочастичным гамильтонианам.
Книга интересна математикам и физикам-теоретикам, занимающимся приложениями функционального анализа. Она доступна студентам старших курсов.
Теория несамосопряжённых операторов необходима для математического изучения процессов, которые возникают в неконсервативных системах, играющих большую роль в современной физике и механике. Эта молодая, интенсивно развивающаяся ветвь математики, ещё не успела получить достаточное освещение в литературе.
В книге впервые даётся развернутое изложение ряда методов теории несамосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве (метод оценок резольвенты, метод определителей возмущения, различные асимптотические методы и др.). Попутно излагаются новые методы получения различных оценок, неравенств и соотношений для собственных и сингулярных чисел вполне непрерывных операторов. С использованием этих методов даётся полная теория симметрично нормированных идеалов вполне непрерывных операторов, в частности, таких важных, как ядерные операторы, операторы Гильберта — Шмидта и др. Материал книги может быть использован в университетских курсах линейной алгебры, интегральных уравнений и функционального анализа.
Книга адресована научным работникам, аспирантам и студентам старших курсов — математикам, механикам и физикам-теоретикам.
Теория монотонных операторов — быстро развивающаяся ветвь нелинейного функционального анализа, которая находит широкое применение при исследовании и приближенном решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.
В книге излагается связь между краевыми задачами и задачами с краевыми и начальными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, с одной стороны, и операторными и операторными дифференциальными уравнениями с монотонными операторами — с другой; проводиться тщательное исследование таких уравнений и указываются алгоритмы приближённых интегральных решений.
Книга доступна студентам старших курсов физико-математических специальностей и полезна всем, интересующимся методами исследования и приложениями нелинейного функционального анализа.
Вариационные методы исследования нелинейных операторов и нелинейных операторных уравнений были развиты за последние 25 лет.
Исследования в этой области, в которых принимал участие и автор настоящей книги, изложены в виде кратких заметок и научных статей, опубликованных как у нас, так и за рубежом.
Это обстоятельство побудило автора дать в настоящей книге систематическое изложение вариационных методов и тех вопросов дифференциального и интегрального исчисления в линейных пространствах, которые нужны для изложения вариационных методов исследования нелинейных уравнений и нелинейных операторов.
В книге излагается теория разложений по собственным функциям самосопряженных операторов. Общая теория прилагается к построению подобных разложений для дифференциальных операторов в частных производных и разностных операторов, к получению интегральных представлений положительно определенных ядер, к проблеме моментов и т. д. Наряду с построением разложений излагаются вопросы теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, необходимые для построения разложений. Изложение во всей книге базируется на теории обобщенных функций конечного порядка.
От читателя предполагается знакомство с элементами теории операторов в гильбертовом пространстве и теории уравнений в частных производных. Книга рассчитана на студентов-математиков старших курсов, аспирантов и научных работников, занимающихся приложениями методов функционального анализа.
В настоящее время теория эллиптических функций распадается на две части, резко отделяющиеся одна от другой: в первой эллиптические функции рассматриваются только как зависимости от аргумента, во второй и от модуля. В германской математической литературе за последнее время появилось два капитальных труда, посвящённых этой второй части теории эллиптических функций, а именно: Felix Klein, “Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen”, ausarbeitet und vervollständigt v. Dr. Robert Fricke. 2 Bände, Leipzig, Teubner, 1890—1892, и “Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen”, академические Vorlesungen von H. Weber, Braunschweig, Vieweg und Sohn, 1891. Во французской литературе есть капитальный труд Галфена, а именно “Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications”, par E. Г. Halphen, Paris, посвящённый главным образом первой части той же теории, хотя и содержит в последнем своём отделении ясные очерки второй части. Второй том посвящён исключительно второй части этой теории. Наше внимание в настоящей статье направлено на вторую часть этой теории.
В книге излагаются свойства ортогональных многочленов Чебышёва, Лежандра, Чебышёва — Эрмита, Чебышёва — Лагерра и общих многочленов Якоби. С доказательствами приводятся асимптотические формулы для этих многочленов и теоремы о разложении функций в ряды Фурье по каждой из названных систем.
Рассмотрено большое число примеров разложения функций в ряды Фурье по этим классическим ортогональным многочленам. Изложены применения этих многочленов в вычислительной математике, математической физике, квантовой механике, а также в некоторых технических задачах.
Во второе издание книги (первое вышло в 1976 г.) внесены некоторые дополнения и, в частности, включена отдельная глава, содержащая простейшие сведения из теории приближения функций.