Развитие современной науки все с большей необходимостью ставит вопрос о тесном союзе естествоиспытателей, математиков и философов.
Необходимость укрепления союза естествознания, математики, с одной стороны, и марксистской философии — с другой, еще более возрастает в связи с принятием XXII съездом КПСС новой программы строительства коммунизма в нашей стране.
Н. С. Хрущев в докладе «О программе Коммунистической партии Советского Союза» отмечает, что «коммунистическое общество будет иметь самую развитую технику, самое развитое и организованное производство, самые совершенные машины». В связи с этим в огромной мере возрастает значение комплексной механизации и автоматизации производства.
Новая Программа КПСС подчеркивает важное значение формирования передового научного коммунистического мировоззрения в условиях развернутого строительства коммунизма, что обусловливает повышение роли и ответственности наук, в том числе и марксистской философии.
Понятия алгоритма и вычислимой функции являются одними из центральных понятий современной математики. Их роль в математике середины XX в. можно, пожалуй, сравнить с ролью понятия множества в математике конца XIX в.
Настоящие «Лекции» посвящены изложению основ теории вычислимых функций (проводимому на базе принятого в настоящее время отождествления их — для случая функций с натуральными аргументами и значениями — с частично-рекурсивными функциями), а также некоторым приложениям этой теории.
В 1961 г. в Хаарлеме (Нидерланды) вышла небольшая книжка «Exacte logica» («Точная логика»). Автор ее профессор Х. Фрейденталь — известный голландский математик с весьма широкими интересами; развивая традиции отечественной школы интуиционистов, он еще в 30-е годы внес существенный вклад в построение интуиционистской топологии; в последние годы большую популярность завоевала книга Фрейденталя «Lincos» («Lingua cosmica»), описывающая предложенный им «космический язык».
«Exacte logica», впрочем, рассчитана на читателей, в большинстве своем не только ничего не слышавших ни про интуиционизм, ни про топологию, ни про математическую лингвистику (о космосе, правда, в наши дни говорят с детства…), но и о логике знающих лишь то, что это что-то средневековое…
Но за последнее время слово «логика» (да еще с эпитетом «математическая») нежиданно вошло в моду; журналисты, физики и лирики приучили своих читателей ассоциировать его с всевозможной кибернетикой. Совсем ничего не знать о логике в современном смысле этого слова становится уже как-то непривычно, старомодно, что ли. Но в школу логике не учат. Специальные учебники по логике для школ чем-то слишком трудны, чтобы считаться их «уроком образования».
Понятие модели возникло в математике еще в девятнадцатом веке. Вплотную к нему подошел Н. И. Лобачевский, но в полной мере оно появилось в работах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, посвященных непротиворечивости геометрии.
В дальнейшем понятие модели развивается и уточняется в связи с развитием формальных теорий и становится одним из основных понятий семантики символических языков.
Современная формулировка понятия модели и других понятий семантики (например, понятия истинности формулы узкого исчисления предикатов, понятия теории классов алгебраических систем и др.) сложилась в конце двадцатых и в начале тридцатых годов в работах Д. Гильберта и А. Тарского.
Книга известного польского математика и логика А. Тарского, представляющая собой популярное введение в математическую логику и методологию дедуктивных наук, заслуживает внимания советского читателя.
Вышедшая в 1936 г. на польском языке, она появилась в 1937 г. в немецком переводе, но была выпущена известным немецким книгоиздательством Шпрингера не в Германии, а в Вене. Правда, это не помогло издательству: часть издания, которую оно не успело распространить до “аншлюса”, так и осталась лежать на его складах… по соображениям расового порядка. В 1941 г. просмотренное и дополненное издание книги вышло на английском языке в Нью-Йорке. С этого издания и выполнен русский перевод.
Проблема взаимоотношения формальной логики и философии, возникающая вместе с возникновением формальной логики, и сейчас привлекает к себе внимание как советских, так и зарубежных философов и логиков.
Интерес к этой проблеме определяется рядом обстоятельств, среди которых в первую очередь должно быть отмечено возникновение диалектической логики.
С возникновением диалектической логики по-новому встал вопрос об отношении формальной логики к философии. Как бы ни трактовать вопрос о предмете диалектической логики, несомненным является тот факт, что она, будучи логикой, занимается исследованием философских вопросов. Отсюда следует, что логика (или часть логики, какой-то вид логики) есть вместе с тем и философия либо, по крайней мере, часть философии. Спрашивается: является ли формальная логика частью логики диалектической или нет?
Если формальная логика есть часть диалектической логики, то, очевидно, она должна быть частью философии. Если же формальная логика не является частью диалектической логики (если она изучает совершенно иные проблемы), чем логика диалектическая, то она в определенном смысле выходит, уходит за границы диалектической логики, приобретает право на самостоятельное существование, т. е. может быть наукой без своего особого предмета исследования.
Философские вопросы есть, конечно, во всякой науке. Однако известно, что специалисты разных областей знания старательно избегают вопросов этого рода. «Для того, чтобы заниматься математикой, мне совсем не требуется знать, что такое математика, — говорит иногда такой специалист-математик, — ведь этот термин не фигурирует ни в каких математических теоремах или определениях, и мне им не приходится пользоваться».
Философские взгляды ученого поэтому нередко содержатся в его работах лишь неявно. Но и в кругах философов часто заметно желание отгородиться от необходимости более специально ознакомиться с конкретными вопросами другой науки, предпочитая дело так, будто специальные вопросы других областей знания никак не могут интересовать философов.
Предлагаемая вниманию читателя книга Р. Р. Столла может быть рекомендована в качестве первоначального пособия — помимо тех категорий читателей, которые указывает в своем предисловии автор, — каждому, кто хочет ознакомиться с основными понятиями, идеями, методами и результатами математической логики и теории множеств; элементарному изложению этих вопросов посвящены первые две главы книги.
Несколько более трудна (по степени абстракции и сложности излагаемых в ней концепций) третья глава, в которой разъясняются важнейшие установки аксиоматического метода, затрагиваются проблематика оснований математики и взаимоотношения между формализованными логико-математическими теориями, их метатеориями и интерпретациями; изложение этих вопросов носит более эскизный характер, нежели в первых двух главах. Заключительная, четвертая глава иллюстрирует содержание предыдущих глав примерами и разнообразно детализирует теорию в алгебре; некоторые из аксиоматических рассмотрений этой главы, быть может, окажутся небезынтересными и для математиков.
Предлагаемое «Логическое введение в математику» предназначается для студентов первого года обучения математических специальностей педагогических институтов. Оно содержит элементы теории множеств, математической логики и их применение в математике, иллюстрированные известным из школьного курса элементарным математическим материалом. Это содержание еще не является установившимся, оно не зафиксировано в каких-либо официальных программах и может служить предметом обсуждения.
Однако предлагаемое содержание представляет собой то общее, что встречается во многих проектах такого вводного курса, целесообразность которого уже является в настоящее время общепризнанной.
Необходимость в таком логическом введении возникает потому, что средняя школа не обеспечивает (пока) своих выпускников достаточно точным пониманием логического компонента (логики) математики и способов математического мышления.
Бурное развитие математической логики во многом определяет основные тенденции научного прогресса наших дней. Ее принципы применяются не только в математике, но и в логических элементах вычислительных устройств, при машинном переводе с одного языка на другой, в сложных кибернетических системах и в других многочисленных областях и практиках.
Нынешний расцвет математической логики был подготовлен веками длительной и многообразной эволюции логических теорий и учений. Автор описывает узловые вехи в становлении и развитии наиболее ценных, с современной точки зрения, логических концепций: от материальной импликации мегарцев и стоиков до семиотики Г. Фреге и Ч. Пирса, от древнеиндийских предвосхищений вероятностной логики до идеографии Д. Пеано, от силлогистики Аристотеля до Г. Лейбница и алгебро-логических концепций XIX—XX вв.
Книга рассчитана на математиков, философов, логиков, на работников, связанных с автоматикой, моделированием, с работой счетно-решающих устройств в области физики, важных для биологов, лингвистов и др., на преподавателей и студентов разных специальностей, желающих ознакомиться с методами математической логики и историей ее формирования.
