SCI Библиотека

Эта книжка написана на основе лекции, прочитанной автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова для участников математической олимпиады — школьников девятого и десятого классов.

В ней, рассчитывая на уровень знаний ученика девятого класса средней школы, мы даем обзор результатов и методов общей теории алгебраических уравнений. Доказательства при этом совсем не приводятся, так как иначе пришлось бы переписывать почти половину университетского учебника высшей алгебры.

Даже при этом условии чтение книжки не превращается, понятно, в легкое развлечение: всякая математическая книга, даже популярная, требует от читателя сосредоточенного внимания, обдумывания всех определений и формулировок, проверки вычислений во всех примерах, применения изложенных методов к другим примерам, придуманным самим читателем, и т. д.

В предлагаемом сборнике учитель математики средней школы найдёт разнообразные устные упражнения и задачи по всем разделам школьного курса геометрии, предназначенные в основном для классных занятий с учащимися.

Эти упражнения целесообразно использовать для проверки знаний учащихся, составления самостоятельных и контрольных работ и повторения ранее пройденного материала. Некоторые из них послужат дополнительным заданием для наиболее способных и интересующихся математикой учащихся.

Правильно организованное упражнение учащихся в решении задач — важное средство активизации мыслительной деятельности учащихся и воспитания их творческих способностей.

Книга «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике», написанная физиком-теоретиком академиком Я. Б. Зельдовичем, рассчитана на школьников старших классов, учащихся техникумов и лиц, занимающихся самообразованием, она может быть полезна и студентам 1-го курса вузов и вузов.

В книге в наиболее простой, наглядной и доступной форме объясняются основные понятия дифференциального и интегрального исчисления. Далее даются сведения, необходимые для практического применения высшей математики к задачам физики и техники. На основе высшей математики рассмотрено большое число физических вопросов: радиоактивный распад, ядерная цепная реакция, законы механики, в частности, реактивное движение и космическая скорость, молекулярное движение.

Рассмотрены электрические явления и, в частности, теория колебаний, лежащая в основе радиотехники. Наряду с математическим исследованием очень подробно изложена физическая сущность рассматриваемых явлений.

Монография предназначена для студентов, магистрантов и преподавателей и может быть использована в качестве учебного пособия при изучении дисциплин, связанных с математическим моделированием в самых разнообразных отраслях прикладной науки. Оно также будет полезно при подготовке к семинарам, факультативным занятиям и при самостоятельном изучении вопросов данной тематики.

Материал монографии может быть широко использован на лекциях и практических занятиях по курсам дифференциальных уравнений и математической физики. Специалистам-гуманитариям пособие может служить кратким руководством по применению математических методов в истории, лингвистике и музыковедении.

Основной целью настоящей монографии является изложение логики моделирования на нетривиальных примерах, что способствует также повышению кругозора, эрудиции и глубины мышления будущих специалистов высшей квалификации.

Чрезвычайно важно поднять геометрическую культуру кончающих нашу среднюю школу. Для этой цели необходимо иметь достаточно полный сборник геометрических задач, особенно на доказательство и построение, а также и на вычисление.

В основу предлагаемого нами сборника положены два принципа: во-первых — давать по возможности только задачи, имеющие какой-нибудь принципиальный геометрический интерес, т. е. такие, которые выясняют существенные свойства плоских или пространственных геометрических фигур, и, во-вторых — не давать задач одинаковых типов, т. е. отличающихся лишь численными или иными несущественными данными.

Наиболее распространенными подобными наборами задач были, пожалуй, задачи мелким шрифтом, помещенные в учебниках геометрии Давидова и Киселева, а также в учебниках Адамара и Руше и Комберруса. Наш задачник несколько полнее, так как за-ключает почти все задачи из указанных четырех источников и сверх того многие другие.

В планируемую включен набор задач по теоремам кругов, представляющий как бы монографию на эту тему, а стереометрия кончается теми такими же наборами; опыт всего четырех выпусков показывает, что прямоугольники, наклонные линии и прямолинейные преобразования плоскости и стереометрии. Всех задач по планируемому около трехсот, а по стереометрии около двухсот.

В основу этой книги положена лекция по уравнениям в целых числах, прочитанная мною в 1951 г. на математической олимпиаде в МГУ.

Я пользуюсь здесь случаем выразить благодарность за оказанную мне помощь моему ученику, доценту Н. М. Коробову, написавшему по конспекту моей лекции первый, второй и часть третьего параграфа.

Книга доступна школьникам старших классов.

Этот справочник имеет двоякое назначение.

Во-первых, здесь можно навести «моментальную» справку: что такое общий наибольший делитель, что такое тангенс и т. п., как вычислить процент, как построить правильный пятиугольник и т. п.; каковы формулы для корней квадратного уравнения, для объема усеченного конуса и т. п. Все определения, правила, формулы и теоремы сопровождаются примерами; при этом особое внимание уделяется примерам практического характера. Всюду, где это требуется, указывается, в каких случаях и как надо применять то или иное правило, каких ошибок надо избегать и т. п.

Во-вторых, этот справочник, по замыслу автора, мог бы служить общедоступным пособием для повторения курса элементарной математики и даже для первого ознакомления с ее практическими применениями.

Последние десятилетия характеризуются глубоким проникновением методов математического моделирования в науку о живом. Использование математики для поиска и познания биологических законов имеет длительную историю. Еще в 1202 г. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в упражнениях к своей книге об абаке провел анализ простой модели популяции кроликов и пришел к разностному уравнению и знаменитым числам Фибоначчи. В 1680 г. Дж. Борелли предложил геометрический подход к механике движения животных и человека. В 1798 г. Т. Мальтус разработал модель динамики роста популяции, в основе которой лежит дифференциальное уравнение показательного роста. В 1908 г. вышла работа Г. Г. Харди, которая сыграла заметную роль в становлении математической генетики. В 1917 г. Д’Арси Томсон опубликовал книгу «О росте и форме», которая охватывает довольно широкий круг биологических вопросов, объединенных возможностью применения к ним количественных методов. С 1920 г. число значительных работ в этой области начало стремительно расти. В 1931 г. появился фундаментальной важности труд «Математическая теория борьбы за существование» выдающегося математика В. Вольтерра.

Сейчас имеется уже много статей и книг, специально посвященных математическому моделированию различных биологических процессов и явлений, сложилась новая дисциплина — математическая биология. Библиография работ, опубликованных в одном только специализированном журнале «Journal of Mathematical Biology*, насчитывает сотни названий.

Настоящая книга является, по существу, специальным курсом лекций по теории уравнений математической биологии, который автор неоднократно читал в Кабардино-Балкарском государственном университете.

Предмет теории уравнений математической биологии составляет исследование основных типов как локальных, так и нелокальных уравнений, описывающих различные биологические процессы и явления.

Изложение материала книги автор старался строить так, чтобы убедить математика (прикладника и теоретика) в том, что в науках о живом есть математически интересные, весьм

Сочинения по элементарной математике резко делятся на два типа. Одни представляют собой учебники в собственном смысле этого слова, по которым можно систематически изучать предмет без предварительной подготовки; другие представляют собой трактаты, содержaщие научное изложение дисциплины и рассчитанные на подготовленного читателя.

В то время, как новые учебники появляются очень часто, ценные сочинения второго рода появляются раз в четверть века и даже реже. Появление нового трактата такого рода всегда указывает на то, что в изложении и в разработке дисциплины установились новые течения, новые взгляды; они как бы подводят итог работам целого научного поколения.

Такое значение в конце шестидесятых и в семьдесятых годах имели: “Элементы математики” Бальцера и “Алгебра” Жозефа Бертрана. Но в последнюю четверть века основные элементарной математики подверглись тщательному пересмотру. Глубокий анализ, которому посвятили много труда наиболее выдающиеся ученые, привел к совершенно новым взглядам на элементарную геометрию и к открытию новых, чрезвычайно значительных результатов. Этот тот семестр, которому мы обязаны таким-то автором. Блиндф предпринял издание “Алгебры” Бертранда на английском языке и значительно усилил успехи переводов и дополнив текста оригинала.

В предисловии автора к первому изданию с достаточной полнотой изложены план и содержание второго тома настоящего сочинения. Мы ограничимся, со своей стороны, только следующими замечаниями.

Вопросы, относящиеся к основаниям геометрии, в настоящее время еще усиленно разрабатываются; но не только относительно тех проблем, которые лежат на рубеже между математикой и философией, еще не достигнуто соглашения, не выработано более или менее общей точки зрения, но и возникающие здесь задачи чисто математического характера вызывают еще немало споров.

С этой, именно, точки зрения мы можем рекомендовать читателю отнестись к излагаемым в настоящей книге рассуждениям. Во многих своих частях это не установившаяся прочная истина, это взгляды, которые можно разделять в большей или меньшей степени. С некоторыми взглядами автора мы, например, решительно не можем согласиться; так мы не можем воспринять точки зрения автора на “натуральную геометрию”.

Но автор тонко изучил обширную литературу, относящуюся к основаниям геометрии. В тех случаях, когда по тому или иному вопросу имеются особые расхождения, он с достаточной объективностью излагает различные точки зрения. Во всяком случае это полезное пособие для изучения предметной литературы. Если, однако, читатель не находит вполне своего удовлетворения, то это должно быть отнесено, главным образом, к трудности самого предмета.