Исследуется нелинейное интегральное уравнение на полуоси со специальным субстохастическим ядром. Такие уравнения встречаются в кинетической теории газов при изучении нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана в рамках нелинейной модифицированной модели Бхатнагара - Гросса - Крука (БГК). При определенных ограничениях на нелинейность удается построить положительное непрерывное и ограниченное решение данного уравнения. Более того, доказывается единственность решения в классе ограниченных сверху на полуоси функций, имеющих положительный инфимум. Доказывается также, что соответствующие последовательные приближения равномерно со скоростью некоторой убывающей геометрической прогрессии сходятся к решению указанного уравнения. При одном дополнительном условии исследуется асимптотическое поведение решения на бесконечности. Приводятся конкретные примеры указанных уравнений, для которых автоматически выполняются все условия доказанных фактов.