Рассмотрены проблемы описания сложного синергетического поведения поляризованных или с объѐмным зарядом наночастиц, кумулирующих в себя электроны, и способам манипулирования этими наночастицами. Исследованы особенности интегрирования таких наночастиц в различные системы и эффективное функционирование таких систем в новых наноструктурированных композитных материалах, обладающих рядом новых свойств, обусловленных поляризационными кумулятивными квантово-размерными эффектами, открытыми автором. В первой части выполнен исторический обзор развития старой и новой квантовых механик, их математических моделей, как основной базы экспериментальных подтверждений и стимулирования развития, предложенной автором кумулятивной квантовой механики (ККМ). На базе обзора ряда классических работ сформулированы основы метода обобщѐнного математического транспонирования (МОМТ), являющегося основой описания сложных кумулятивно-диссипативных систем и в частности в кумулятивной наноэлектрохимии и нанофизике. МОМТ позволяет верифицировать знания и модели, полученные в различных науках, описывающих явления фемто-, нано-, мезо- и макромиров. Отмечены проблемы, возникающие при описании собственных энергетических спектров полых квантовых резонаторов, между гипотезой де Бройля и классической квантовой механикой Дирака, ограничивающей ψ-функции всюду. Обсуждены новые открытия и результаты, обусловленные применением МОМТ и ККМ в нано-, мезо- и астрофизике, в частности, имеющие прикладное значение.